专题4 二次函数与特殊图形的存在性问题（盐城25徐州28苏州25无锡28连云港26题等）-2021年中考数学大题狂练之压轴大题突破培优练【江苏专用】

2021年中考数学大题狂练之压轴大题突破培优练（江苏专用） 专题4二次函数与特殊图形的存在性问题 【真题再现】 1．（2020年盐城第25题）若二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴有两个交点M（x1，0），N（x2，0）（0＜x1＜x2），且经过点A（0，2）．过点A的直线l与x轴交于点C，与该函数的图象交于点B（异于点A）．满足△ACN是等腰直角三角形，记△AMN的面积为S1，△BMN的面积为S2，且S2S1． （1）抛物线的开口方向　上　（填“上”或“下”）； （2）求直线l相应的函数表达式； （3）求该二次函数的表达式． 【分析】（1）根据题意借助图象即可得到结论； （2）由点A（0，2）及△CAN是等腰直角三角形，可知C（﹣2，0），N（2，0），由A、C两点坐标可求直线l； （3）由S2S1，可知B点纵坐标为5，代入直线AB解析式可求B点横坐标，将A、B、N三点坐标代入y＝ax2+bx+c中，可求抛物线解析式． 【解析】（1）如图，如二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴有两个交点M（x1，0），N（x2，0）（0＜x1＜x2），且经过点A（0，2）． ∴y＝ax2+bx+2， 令y＝0，则ax2+bx+2＝0， ∵0＜x1＜x2， ∴0， ∴a＞0， ∴抛物线开口向上， 故答案为：上； （2）①若∠ACN＝90°，则C与O重合，直线l与抛物线交于A点， 因为直线l与该函数的图象交于点B（异于点A），所以不合题意，舍去； ②若∠ANC＝90°，则C在x轴的下方，与题意不符，舍去； ③若∠CAN＝90°，则∠ACN＝∠ANC＝45°，AO＝CO＝NO＝2， ∴C（﹣2，0），N（2，0）， 设直线l为y＝kx+b，将A（0，2）C（﹣2，0）代入得， 解得， ∴直线l相应的函数表达式为y＝x+2； （3）过B点作BH⊥x轴于H， S1，S2， ∵S2S1， ∴BHOA， ∵OA＝2， ∴BH＝5， 即B点的纵坐标为5，代入y＝x+2中，得x＝3， ∴B（3，5）， 将A、B、N三点的坐标代入y＝ax2+bx+c得， 解得， ∴抛物线的解析式为y＝2x2﹣5x+2． 2．（2020年徐州第28题）如图，在平面直角坐标系中，函数y＝﹣ax2+2ax+3a（a＞0）的图象交x轴于点A、B，交y轴于点C，它的对称轴交x轴于点E．过点C作CD∥x轴交抛物线于点D，连接DE并延长交y轴于点F，交抛物线于点G．直线AF交CD于点H，交抛物线于点K，连接HE、GK． （1）点E的坐标为：　（1，0）　； （2）当△HEF是直角三角形时，求a的值； （3）HE与GK有怎样的位置关系？请说明理由． 【分析】（1）利用对称轴公式求解即可． （2）连接EC，分两种情形：当∠HEF＝90°时，当∠HFE＝90°，分别求解即可． （3）求出直线HF，DF的解析式，利用方程组确定点K，G的坐标，再求出直线EH，GK的解析式即可判断． 【解析】（1）对于抛物线y＝﹣ax2+2ax+3a，对称轴x1， ∴E（1，0）， 故答案为（1，0）． （2）如图，连接EC． 对于抛物线y＝﹣ax2+2ax+3a，令x＝0，得到y＝3a， 令y＝0，﹣ax2+2ax+3a＝0，解得x＝﹣1或3， ∴A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3a）， ∵C，D关于对称轴对称， ∴D（2，3a），CD＝2，EC＝DE， 当∠HEF＝90°时， ∵ED＝EC， ∴∠ECD＝∠EDC， ∵∠DCF＝90°， ∴∠CFD+∠EDC＝90°，∠ECF+∠ECD＝90°， ∴∠ECF＝∠EFC， ∴EC＝EF＝DE， ∵EA∥DH， ∴FA＝AH， ∴AEDH， ∵AE＝2， ∴DH＝4， ∵HE⊥DFEF＝ED， ∴FH＝DH＝4， 在Rt△CFH中，则有42＝22+（6a）2， 解得a或（不符合题意舍弃）， ∴a． 当∠HFE＝90°时，∵OA＝OE，FO⊥AE， ∴FA＝FE， ∴OF＝OA＝OE＝1， ∴3a＝1， ∴a， 综上所述，满足条件的a的值为或． （3）结论：EH∥GK． 理由：由题意A（﹣1，0），F（0，﹣3a），D（2，3a），H（﹣2，3a），E（1，0）， ∴直线AF的解析式y＝﹣3ax﹣3a，直线DF的解析式为y＝3ax﹣3a， 由，解得或， ∴K（6，﹣21a）， 由，解得或， ∴G（﹣3，﹣12a）， ∴直线HE的解析式为y＝﹣ax+a， 直线GK的解析式为y＝﹣ax﹣15a， ∵k相同，a≠﹣15a， ∴HE∥GK． 3．（2020年苏州第25题）如图，二次函数y＝x2+bx的图象与x轴正半轴交于点A，平行于x轴的直线l与该抛物线交于B、C两点（点B位于点C左侧），与抛物线对称轴交于点D（2，﹣3）． （1）求b的值； （2）设P、Q