第三章 空间向量的正交分解及其坐标表示-格邦高中阶段2020-2021学年高中数学选修2-1同步资源（人教A版）

姓名： 日期： 高中数学 选修2-1 空间向量与立体几何 测试内容：空间向量的正交分解及其坐标表示 考试时间：100分钟； 总分：100分 命题人：田思思 1．空间向量基本定理 (1)定理 条件 如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p 结论 存在唯一的有序实数组{x，y，z}，使得p＝xa＋yb＋zc (2)基底与基向量 如果三个向量a，b，c不共面，那么所有空间向量组成的集合就是{p|p＝xa＋yb＋zc，x，y，z∈R}，这个集合可看作是由向量a，b，c生成的，我们把{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量． 2．空间向量的正交分解及其坐标表示 (1)单位正交基底 三个有公共起点O的两两垂直的单位向量e1，e2，e3称为单位正交基底，用{e1，e2，e3}表示． (2)空间直角坐标系 以e1，e2，e3的公共起点O为原点，分别以e1，e2，e3的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系Oxyz. (3)空间向量的坐标表示 对于空间任意一个向量p，一定可以把它平移，使它的起点与原点O重合，得到向量＝p，由空间向量基本定理可知，存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝xe1＋ye2＋ze3.把x，y，z称作向量p在单位正交基底e1，e2，e3下的坐标，记作p＝(x，y，z)． 题型一：基底的概念 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)只有两两垂直的三个向量才能作为空间向量的一组基底．(　　) (2)向量的坐标与点P的坐标一致．(　　) (3)对于三个不共面向量a1，a2，a3，不存在实数组{λ1，λ2，λ3}使0＝λ1a1＋λ2 a2＋λ3 a3.(　　) 2．做一做 (1)(教材改编P94T1)如果向量a，b与任何向量都不能构成空间的一个基底，则(　　) A．a与b共线 B．a与b同向 C．a与b反向 D．a与b共面 (2)若向量i，j，k为空间直角坐标系上对应x轴，y轴，z轴正方向的单位向量，且设a＝2i－j＋3k，则向量a的坐标为________． (3)设a，b，c是三个不共面向量，现从①a－b，②a＋b－c中选出一个使其与a，b构成空间的一个基底，则可以选择的向量为________(填写代号)． (4)如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中建立空间直角坐标系．已知AB＝AD＝2，BB1＝1，则的坐标为________，的坐标为________． 3.若{a，b，c}是空间的一个基底，判断{a＋b，b＋c，c＋a}能否作为该空间的一个基底． 4.设x＝a＋b，y＝b＋c，z＝c＋a，且{a，b，c}是空间的一个基底，给出下列向量组：①{a，b，x}，②{x，y，z}，③{b，c，z}，④{x，y，a＋b＋c}，其中可以作为空间的基底的向量组有(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型二：用基底表示向量 5.如下图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，P是CA1的中点，M是CD1的中点，N是C1D1的中点，点Q是CA1上的点，且CQ∶QA1＝4∶1，＝a，＝b，＝c，用基底{a，b，c}表示以下向量：(1)；(2)；(3)；(4). 6.下图，四棱锥P－OABC的底面为一矩形，PO⊥面OABC，设＝a，＝b，＝c，E，F分别为PC和PB的中点，试用a，b，c表示，，，. 题型三：空间向量的坐标表示 7.已知PA垂直于正方形ABCD所在的平面，M，N分别是AB，PC的中点，并且PA＝AD＝1.在如图所示的空间直角坐标系中，求向量的坐标． 8.已知ABCD－A1B1C1D1是棱长为2的正方体，E，F分别为BB1和DC的中点，建立如图所示的空间直角坐标系，试写出，，的坐标． 综合小测试 1．若O，A，B，C为空间四点，且向量，，不能构成空间的一个基底，则(　　) A.，，共线 B.，共线 C.，共线 D．O，A，B，C四点共面 2．在空间直角坐标系Oxyz中，下列说法中正确的是(　　) A．向量的坐标与点B的坐标相同 B．向量的坐标与点A的坐标相同 C．向量的坐标与向量的坐标相同 D．向量的坐标与－的坐标相同 3．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是上底面A1B1C1D1的中心，则AC1与CE的位置关系是(　　) A．重合 B．垂直 C．平行 D．无法确定 4．已知{e1，e2，e3}是