第三章 空间向量的数量积运算-格邦高中阶段2020-2021学年高中数学选修2-1同步资源（人教A版）

姓名： 日期： 高中数学 选修2-1 空间向量与立体几何 测试内容：空间向量的数量积运算 考试时间：100分钟； 总分：100分 命题人：田思思 1．空间向量的夹角 如果〈a，b〉＝，那么向量a，b互相垂直，记作a⊥b. 2．空间向量的数量积 定义 已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作 a·b 运算律 数乘向量与向量 数量积的结合律 (λa)·b＝λ(a·b) 交换律 a·b＝b·a 分配律 a·(b＋c)＝a·b＋a·c 两个向量数量积的性质： (1)若a，b是非零向量，则a⊥b⇔a·b＝0； (2)若a与b同向，则a·b＝|a||b|； 若反向，则a·b＝－|a||b|； 特别地：a·a＝|a|2或|a|＝； (3)若θ为a，b的夹角，则cosθ＝； (4)|a·b|≤|a||b|. 　 　　　　　　　　　　　　　　　 题型一：求向量的数量积 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)对于空间任意两个非零向量a，b，a∥b是〈a，b〉＝0的充要条件．(　　) (2)若a2＝b2，则a＝b或a＝－b.(　　) (3)若a，b均为非零向量，则a·b＝|a||b|是a与b共线的充要条件．(　　) (4)在△ABC中，〈，〉＝∠B.(　　) 2．做一做 (1)(教材改编P92T3)已知空间四边形的每条边和对角线长都是a，点E，F，G分别为AB，AD，DC的中点，则a2等于(　　) A．2· B．2· C．2· D．2· (2)若向量a与b满足|a|＝1，|b|＝2且a与b的夹角为，则a·b＝________. (3)已知|a|＝，|b|＝，a·b＝－，则a与b的夹角为________． (4)已知a，b是空间两个向量，若|a|＝2，|b|＝2，|a－b|＝，则cos〈a，b〉＝________. 3.如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，点E，F分别是AB，AD的中点，计算： (1)·；(2)·；(3)·；(4)·. 4.如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AA1＝1，AD＝2，O为AC与BD的交点，E为A1D1的中点，求下列向量的数量积： (1)·；(2)·；(3)·. 题型二:利用数量积求夹角 5.已知空间四边形OABC各边及对角线长都相等，E，F分别为AB，OC的中点，求异面直线OE与BF所成角的余弦值． 6.三棱柱ABC－A1B1C1中，底面边长和侧棱长都相等，∠BAA1＝∠CAA1＝60°，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为________． 题型三：利用向量数量积求距离 7.已知线段AB在平面α内，线段AC⊥α，线段BD⊥AB，且与α所成的角是30°，如果AB＝a，AC＝BD＝b，求C，D间的距离． 8.在正四面体ABCD中，棱长为a，M，N分别是棱AB，CD上的点，且|MB|＝2|AM|，|CN|＝|ND|，求|MN|. 题型四：判断或证明垂直问题 9.下图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G分别是棱CC1，BC，CD的中点，求证：A1G⊥平面DEF. 10.如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB＝60°，AB＝2AD，PD⊥底面ABCD.证明：PA⊥BD. 综合小测试 1．下列各命题中，不正确命题的个数为(　　) ①＝|a|；②m(λa)·b＝(mλ)a·b；③a·(b＋c)＝(b＋c)·a；④a2b＝b2a. A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 2．已知|a|＝1，|b|＝，且a－b与a垂直，则a与b的夹角为(　　) A．60° B．30° C．135° D．45° 3．已知在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，以A为顶点的三条棱长都等于1，且彼此的夹角都是60°，则此平行六面体的对角线AC1的长为(　　) A．6 B. C．3 D. 4．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，设AD＝AA1＝1，AB＝2，P是C1D1的中点，则与所成角的大小为________，·＝________. 5．已知a＋3b与7a－5b垂直，且a－4b与7a－2b垂直，求〈a，b〉． 巩固小练 一、选择题 1．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，有下列命题： ①(＋＋)2＝32；②·(－)＝0；③1与的夹角为