第三章 利用空间向量求空间角、空间距离问题-格邦高中阶段2020-2021学年高中数学选修2-1同步资源（人教A版）

高中数学 选修2-1 空间向量与立体几何 测试内容：利用空间向量求空间角、空间距离问题 考试时间：100分钟； 总分：100分 命题人：田思思 1．空间角及向量求法 角的分类 向量求法 范围 异面直线 所成的角 设两异面直线所成的角为θ，它们的方向向量为a，b，则cosθ＝|cos〈a，b〉|＝ 直线与平面 所成的角 设直线l与平面α所成的角为θ，l的方向向量为a，平面α的法向量为n，则sinθ＝|cos〈a，n〉|＝ 二面角 设二面角α－l－β的平面角为θ，平面α，β的法向量为n1，n2，则|cosθ|＝|cos〈n1，n2〉|＝ [0，π] 2．空间距离的向量求法 分类 向量求法 两点距 设A，B为空间中任意两点，则d＝|| 点面距 设平面α的法向量为n，B∉α，A∈α，则B点到平面α的距离d＝ 题型一：利用空间向量求线线角 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)两异面直线所成的角与两直线的方向向量所成的角相等．(　　) (2)直线l∥平面α，则直线l到平面α的距离就是直线l上的点到平面α的距离．(　　) (3)若平面α∥β，则两平面α，β的距离可转化为平面α内某条直线到平面β的距离，也可转化为平面α内某点到平面β的距离．(　　) 2．做一做(请把正确的答案写在横线上) (1)已知两平面的法向量分别为m＝(0,1,0)，n＝(0,1,1)，则两平面所成的二面角的大小为________． (2)(教材改编P111A组T11)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M是C1C的中点，O是底面ABCD的中点，P是A1B1上的任意点，则直线BM与OP所成的角为________． (3)已知平面α的一个法向量为n＝(－2，－2,1)，点A(－1,3,0)在平面α内，则点P(－2,1,4)到平面α的距离为________． 3.如图1，已知两个正四棱锥P－ABCD与Q－ABCD的高分别为1和2，AB＝4.求异面直线AQ与PB所成角的余弦值． 4.如图，在三棱锥V－ABC中，顶点C在空间直角坐标系的原点处，顶点A，B，V分别在x，y，z轴上，D是线段AB的中点，且AC＝BC＝2，∠VDC＝θ.当θ＝时，求异面直线AC与VD所成角的余弦值． 题型二：利用空间向量求线面角 5.正三棱柱ABC－A1B1C1的底面边长为a，侧棱长为a，求AC1与侧面ABB1A1所成的角． 6.如图，四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB＝AD＝AC＝3，PA＝BC＝4，M为线段AD上一点，AM＝2MD，N为PC的中点． (1)证明：MN∥平面PAB； (2)求直线AN与平面PMN所成角的正弦值． 题型三：利用空间向量求二面角 7.如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，面ABEF为正方形，AF＝2FD，∠AFD＝90°，且二面角D－AF－E与二面角C－BE－F都是60°. (1)证明：平面ABEF⊥平面EFDC； (2)求二面角E－BC－A的余弦值． 8.若PA⊥平面ABC，AC⊥BC，PA＝AC＝1，BC＝，求二面角A－PB－C的余弦值． 题型四：利用空间向量求距离 9.已知正方形ABCD的边长为1，PD⊥平面ABCD，且PD＝1，E，F分别为AB，BC的中点． (1)求点D到平面PEF的距离； (2)求直线AC到平面PEF的距离． 10.正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，E，F，G分别是C1C，D1A1，AB的中点，求点A到平面EFG的距离． 题型五：与空间有关的探索性问题 11.如图，矩形ABCD和梯形BEFC所成的平面互相垂直，BE∥CF，∠BCF＝∠CEF＝90°，AD＝，EF＝2. (1)求证：AE∥平面DCF； (2)当AB的长为何值时，二面角A－EF－C的大小为60°？ 12.在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AD＝AA1＝AB，点E是棱AB上一点，且＝λ. (1)证明：D1E⊥A1D； (2)是否存在λ，使得二面角D1－EC－D的平面角为？并说明理由． 综合小测试 1．若两异面直线l1与l2的方向向量分别为a＝(0,4，－3)，b＝(1,2,0)，则直线l1与l2的夹角的余弦值为(　　) A. B. C. D. 2．直角△ABC的两条直角边BC＝3，AC＝4，PC⊥平面ABC，PC＝，则点P到斜边AB的距离是(　　) A．5 B．3 C．3 D. 3．把正方形ABCD沿对角线AC折起成直二面角，点E，F分别是AD，BC的中点，O是正方形中心，则折起后，∠EOF的大小为(　　) A．(0°，90°) B．90° C．120° D．(60°，120°) 4．平面α的法向量