方案05 “与圆有关的问题”魔幻10题-2021年中考数学速效提分方案

“与圆有关的问题”魔幻10题 -----2021中考数学速效提分方案 1．如图，在 中， ，以AB为直径的 交BD于点C，交AD于点E，CG是 的切线，CG交AD于点G． （1）求证： ； （2）填空： ①若 的面积为56，则 的面为________； ②当 的度数为________时，四边形EFCD是菱形． 【答案】（1）证明见解析；（2）①14；②30°． 【详解】 （1）证明：如解图，连接 ， ， ， ， ， ， ， 是 的切线， ， ； （2）解：①14；②30°． [解法提示]①由（1）得 ， ， ∵ ，∴ ， ； ②∵四边形 是菱形， ， ， ， ∵点 是 的中点， ∴点 分别是 的中点， ∴ ， ， ， ， ， 是等边三角形， ， 由（1）得 ， ． 2．如图，BC是半⊙O的直径，A是⊙O上一点，过点的切线交CB的延长线于点P，过点B的切线交CA的延长线于点E，AP与BE相交于点F． （1）求证：BF＝EF； （2）若AF＝ ，半⊙O的半径为2，求PA的长度． 【答案】（1）见解析；（2） . 【解析】 【分析】 （1）连接OA，可得∠E+∠C＝∠EAF+∠OAC＝90°，再根据OA＝OC，即可解答 （2）连接AB，可得∠OAP＝∠OBE＝90°，且BF＝AF＝1.5，根据三角函数求出PB＝ ， 再证明△APB∽△CPA，即可解答 【详解】 （1）证明：连接OA， ∵AF、BF为半⊙O的切线， ∴AF＝BF，∠FAO＝∠EBC＝90°， ∴∠E+∠C＝∠EAF+∠OAC＝90°， ∵OA＝OC， ∴∠C＝∠OAC， ∴∠E＝∠EAF， ∴AF＝EF， ∴BF＝EF； （2）解：连接AB， ∵AF、BF为半⊙O的切线， ∴∠OAP＝∠OBE＝90°，且BF＝AF＝1.5， 又∵tan∠P＝ ，即 ， ∴PB＝ ， ∵∠PAE+∠OAC＝∠AEB+∠OCA＝90°，且∠OAC＝∠OCA， ∴∠PAE＝∠AEB，∠P＝∠P， ∴△APB∽△CPA， ∴ ，即PA2＝PB•PC， ∴ ，解得PA＝ ． 【旗开得胜】 此题考查切线的性质，相似三角形的性质，三角函数，解题关键在于作辅助线 3．如图， 中， ，以 的中点 为圆心，以 的长为直径的 交 于点 ，交 于点 ，过点 作 的切线 ，交 于点 ． （1）求证： ； （2）填空： ①若 ， ，则 的面积为____； ②当 的度数为____时，四边形 是菱形． 【答案】（1）见解析；（2）① ；②30° 【分析】 （1）由等腰三角形的性质得出∠B=∠C，∠B=∠BDO，证出OD∥AC，由已知条件得出∠C+∠CDF=90°，即可得出结论； （2）解：①由AB是⊙O的直径，可得∠ADB=∠AEB=90°，即AD⊥BC由等腰三角形三线合一可得：BC=CD= ，可证△ABE是等腰直角三角形，根据勾股定理可得： ,代入数据可得： 故 可得△BEC的面积，证得：△CBE∽△CDF，故 ，即可得出答案; ②证出△ABC是等边三角形，得出∠ACB=60°，故∠CDF的度数，即可得出答案． 【详解】 （1）证明：连接OD，∵AB=AC，OB=OD， ∴∠B=∠C，∠B=∠BDO， ∴∠C=∠BDO， ∴OD∥AC， ∵DF是⊙O的切线， ∴∠ODF=90°， ∴∠BDO+∠CDF=90°， ∴∠C+∠CDF=90°， ∴∠CFD=90°， ∴DF⊥AC； （2）解：①∵连接AC，BE， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB=∠AEB=90°， ∴AD⊥BC ∵AB=AD=4， ∴BC=CD= ， 在Rt△ABE中，∠AEB=90°，∠BAE=45° ∴∠ABE=90°-∠BAE=45°=∠BAE, ∴BE=AE 根据勾股定理可得 , 即 ∴ ∴ ∴ ∴ ∵DF⊥AC ∴∠DFE=∠DFC=90° ∵∠AEB=90° ∴∠AEB=∠DFE ∴BE∥DF， ∴△CBE∽△CDF ∴ ∴ 故答案为： ②当四边形OECD是菱形时，OE∥DC ∴∠OEA=∠ACB ∵AB=AC，OA=OE ∴∠ABC=∠ACB，∠OAE=∠OEA ∴∠OAE=∠ABC=∠ACB ∴△ABC是等边三角形 ∴∠ACB=60° ∴∠CDF=90°-∠DCF=90°-60°=30° ∴当∠CDF得度数为30°，四边形OECD是菱形 故答案为30° 【旗开得胜】 本题是圆的综合题目，考查了切线的判定、圆的半径相等、等腰三角形的性质、等边三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、平行四边形的判定、菱形的判定等知识；熟练掌握切线的判定方法，等腰三角形的性质、等边三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、平行四边形的判定、菱形的判定是解题的关键． 4．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，O是AB上一点，