2020-2021学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册重难点题型专项提优-专题04 平面向量的应用（江苏，机构专用）

2021人教A版新高一数学下学期重难点题型专项提优 专题04平面向量的应用（解析版） 本专题主要强化三个内容：一、平面向量在物理中的应用；二、平面向量在几何中的综合应用；三、与平面向量有关的新定义问题． 【2021新高一江苏无锡、苏州适用】 【考点一：平面向量在物理中的应用】 例1．一质点在力 ＝(﹣3，5)， ＝(2，﹣3)的共同作用下，由点A(10，﹣5)移动到B(4，0)，则 ， 的合力 对该质点所做的功为 A．16 B．﹣24 C．110 D．﹣110 【答案】A 【解析】 ＝ ＋ ＝(﹣1，2)， ＝(﹣6，5)，所以W＝ · ＝16． 例2．在日常生活中，我们会看到如图所示的情境，两个人共提一个行李包．假设行李包所受重力为G，作用在行李包上的两个拉力分别为 ， ，且 ， 与 的夹角为 ．给出以下结论：① 越大越费力， 越小越省力；② 的范围为 ， ；③当 时， ；④当 时， ．其中正确结论的序号是 ． 【答案】①④ 【解析】对于①，由 为定值， 所以 ，解得 ； 由题意知 时， 单调递减，所以 单调递增， 即 越大越费力， 越小越省力；①正确． 对于②，由题意知， 的取值范围是 ，所以②错误． 对于③，当 时， ，所以 ，③错误． 对于④，当 时， ，所以 ，④正确． 综上知，正确结论的序号是①④． 例3．如图，已知河水自西向东流速为 ，设某人在静水中游泳的速度为 ，在流水中实际速度为 ． （1）若此人朝正南方向游去，且 ，求他实际前进方向与水流方向的夹角 和 的大小； （2）若此人实际前进方向与水流垂直，且 ，求他游泳的方向与水流方向的夹角 和 的大小． 【解析】解：设 ， ， ， 则由题意知 ， ， 根据向量加法的平行四边形法则得四边形 为平行四边形． （1）由此人朝正南方向游去得四边形 为矩形，且 ，如下图所示， 则在直角 中， ， ，又 ，所以 ； （2）由题意知 ，且 ， ，如下图所示， 则在直角 中， ， ， 又 ，所以 ， 则 ， 答：（1）他实际前进方向与水流方向的夹角 为 ， 的大小为 ； （2）他游泳的方向与水流方向的夹角 为 ， 的大小为 ． 变式训练： 1．如图为某种礼物降落伞的示意图，其中有8根绳子和伞面连接，每根绳子和水平面的法向量的夹角均为 ．已知礼物的质量为 ，每根绳子的拉力大小相同．若重力加速度 取 ，则降落伞在匀速下落的过程中每根绳子拉力的大小为 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意知，8根绳子的合力大小与礼物的重力大小相等， 设每根绳子的拉力为 ，则 ， 解得 ． 2．一船向正北方向匀速行驶，看见正西方向两座相距 海里的灯塔恰好与该船在同一直线上，继续航行半小时后，看见其中一座灯塔在南偏西 方向上，另一灯塔在南偏西 方向上，则该船的速度是 海里/小时． 【答案】15 【解析】根据题意得： 海里， ， ， ， ， ， 海里， ， 在 中， ， 从 到 行驶了半小时， 速度为 海里/小时． 3．如图所示，有两条相交成 的直线 、 ，其交点是 ，甲、乙两辆汽车分别在 、 上行驶，起初甲离 点 ，乙离 点 ，后来两车均以 的速度，甲沿 方向，乙沿 方向行驶． （1）起初两车的距离是多少？ （2）t小时后两车的距离是多少？ （3）何时两车的距离最短？ 【解析】解：（1）设甲、乙两车最初的位置为 、 ， 则 ． 故 ． （2）设甲、乙两车t小时后的位置分别为 、 ， 则 ． 当 时， ； 当 时， ． 上面两式可统一为 ， 即 ． （3）因为 ， 故当 ，即在第10分钟末时，两车距离最短，最短距离为 ． 【考点二：平面向量在几何中的综合应用】 例1．如图，E，F分别是四边形ABCD的边AD，BC的中点，AB＝1，CD＝2，∠ABC＝75°，∠BCD＝45°，则线段EF的长是 ． 【答案】 【解答】由图象，得 ， ． ， 分别是四边形 的边 ， 的中点， ． ， ， ， ． 的长为： ． 例2．在梯形ABCD中， ， ，P为梯形ABCD所在平面上一点，且满足 ， ，Q为边AD上的一个动点，则 的最小值为 ． 【答案】 【解析】取 的中点，连接 ， ， EMBED Equation.DSMT4 ， ， 四边形 为平行四边形， ， EMBED Equation.DSMT4 ， ， EMBED Equation.DSMT4 ， ， ， ，设 ， ， ， ， ，当 时， 最小， ． 例3．已知点A(﹣1，0)，B(0，﹣1)，倾斜角为 的直线OP与单位圆在第一象限的部分交于点P，PA与 轴交于点N，PB与 轴交于点M． （1）设 ， ，试