专题01 平面向量（期中真题汇编，浙江专用）高一数学下学期人教A版

专题01 平面向量 5大高频考点概览 考点01 平面向量的概念 考点02 平面向量的运算 考点03 平面向量基本定理及坐标表示 考点04 平面向量在几何、物理中的应用 ( 地 城 考点01 平面向量的概念 ) 一、单选题 1．（23-24高一下·浙江金华·期中）下列关于向量的描述正确的是（   ） A．若向量，都是单位向量，则 B．若向量，都是单位向量，则 C．任何非零向量都有唯一的与之共线的单位向量 D．平面内起点相同的所有单位向量的终点共线 2．（24-25高一下·浙江·期中）给出下列命题，正确的是（    ） A．的充要条件是且 B．若，则它们的起点和终点均相同 C．若存在实数，使得，则 D．若是平面内的四点，且，则四点一定能构成平行四边形 3．（24-25高一下·浙江·期中）已知向量，则“与共线”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（24-25高一下·浙江宁波·期中）已知向量，是平面上两个不共线的单位向量，且，，，则（    ） A．、、三点共线 B．、、三点共线 C．、、三点共线 D．、、三点共线 二、多选题 5．（23-24高一下·浙江宁波·期中）下面的命题正确的有（    ） A．若，，则 B．方向相反的两个非零向量一定共线 C．若满足且与同向，则 D．“若是不共线的四点，且”“四边形是平行四边形” 6．（22-23高一下·浙江嘉兴·期中）已知向量不共线，若，，且，，三点共线，则关于实数的值可以是（    ） A．2， B．， C．2， D．， ( 地 城 考点02 平面向量的运算 ) 一、单选题 1．（24-25高一下·浙江·期中）在中，，，则等于（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·浙江嘉兴·期中）已知，且向量与向量的夹角为，则（   ） A． B． C．2 D． 3．（24-25高一下·浙江杭州·期中）已知向量和向量的夹角为，且，则的值为（    ） A．1 B． C．2 D． 4．（24-25高一下·浙江温州·期中）已知中，，，则在上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高一下·浙江·期中）已知向量与的夹角为，，，若，则实数（    ） A． B．1 C． D．2 6．（24-25高一下·浙江·期中）设平面内三个非共线的单位向量两两之间的夹角相等，则（    ） A．1 B． C．5 D． 7．（24-25高一下·浙江宁波·期中）等边的边长为2，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高一下·浙江绍兴·期中）若，是夹角为的两个单位向量，则与的夹角为（   ） A． B． C． D． 9．（24-25高一下·浙江·期中）已知在平行四边形中，，，且，，则的值为（    ） A．-3 B．-6 C．-9 D．-12 10．（24-25高一下·浙江·期中）已知，且与夹角为，动点M关于点A的对称点为S，点S关于点B的对称点为N，则的最小值为（   ） A．-8 B．-4 C．-2 D．2 二、多选题 11．（24-25高一下·浙江杭州·期中）已知是两个互相垂直的单位向量，，则下列结论中正确的有（    ） A． B． C． D．与的夹角为 12．（24-25高一下·浙江·期中）对于任意两个非零向量和，下列命题中正确的是（    ） A． B． C．在方向上的投影向量的模为 D．向量与向量垂直 13．（24-25高一下·浙江丽水·期中）已知平面向量，，都是单位向量，且，则以下命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则在上的投影向量是 14．（24-25高一下·浙江台州·期中）已知向量，的夹角为，，，，则（   ） A．在方向上的投影向量的模为 B．在方向上的投影向量的模为 C．的最小值为 D．取得最小值时， 15．（24-25高一下·浙江杭州·期中）已知点O在所在的平面内，则下列命题正确的是（    ） A．若O为的外心，， 则 B．若O为的垂心，，则 C．若，则与的面积之比为 D．若，的面积为8，则的面积为14 三、填空题 16．（24-25高一下·浙江宁波·期中）如图，设是平面内相交成角的两条数轴，分别是与轴、轴正方向同向的单位向量.若向量，则把有序数对叫做向量在斜坐标系中的坐标.设向量在斜坐标系中的坐标分别为，则__________. 17．（24-25高一下·浙江·期中）已知，为平面中的单位向量，满足，若，，且，则实数________． 18．（24-25高一下·浙江·期中）如图，为半圆的直径，点为的中点，点为线段上的一动点（含端点，）.若，则的取值范围是______. 四、解答题 19．（24-25高一下·浙江·期中）如图，在平行四边形中，，，点E是的中点，F是线段上靠近点A的三等分点，，设，. (1)若，求的大小； (2)若，，求. 20．（24-25高一下·浙江·期中）已知向量与的夹角为，且，，若，． (1)当时，求实数的值； (2)当取最小值时，求向量与夹角的大小． 21．（23-24高一下·浙江杭州·期中）在中，点在边上，，，，． (1)求的模； (2)求向量与夹角的余弦值； (3)若点在边上，求的范围． ( 地 城 考点0 3 平面向量基本定理及坐标表示 ) 一、单选题 1．（24-25高一下·浙江温州·期中）已知平面向量，，若，则实数（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·浙江·期中）已知，，若，则的值为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·浙江嘉兴·期中）在平行四边形中，点为线段的中点，记，，则（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·浙江·期中）中，点是上靠近点的五等分点，设，则（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高一下·浙江丽水·期中）已知向量，满足，，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 6．（24-25高一下·浙江衢州·期中）若，且在方向上的投影向量为，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高一下·浙江·期中）若向量，则“”是“向量的夹角为锐角”的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 8．（24-25高一下·浙江·期中）设非零向量与的夹角为，定义与的“向量积”：是一个向量，它的模，若，则（    ） A．1 B． C． D．2 9．（24-25高一下·浙江宁波·期中）如图，在中，，且BF与CE交于点M，设，则（   ） A． B． C． D．－1 10．（24-25高一下·浙江嘉兴·期中）已知，，是平面内一点，则最小值是（   ） A． B． C． D．0 11．（24-25高一下·浙江宁波·期中）如图，在中，已知，，P是线段与的交点，若，则的值为（    ） A． B． C．1 D． 12．（24-25高一下·浙江五湖联盟·期中）在中，点D在BC上，且满足，点E为AD上任意一点，若实数x，y满足，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 13．（24-25高一下·浙江·期中）若是一组基底，则下列各组向量中，可以作为基底的有（   ） A． B． C． D． 14．（24-25高一下·浙江台州·期中）设向量，，则下列叙述正确的是（    ） A．若， B．与垂直的单位向量只能为， C．若，则与的夹角为 D．若，向量在向量上的投影向量为 15．（24-25高一下·浙江·期中）已知向量，，，则以下说法正确的是（   ） A． B．在方向上的投影向量为 C．与垂直 D．若与的夹角为锐角，则的取值范围是 16．（24-25高一下·浙江杭州·期中）在中，是中点，，且交于，则（   ） A．为的中点 B． C．若，且，则 D．若，则的最大值为． 17．（24-25高一下·浙江·期中）已知的内角，，，为所在平面上一点，设，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 18．（24-25高一下·浙江杭州·期中）正方形的边长为2，动点在正方形内部及边上运动，，则下列结论正确的有（   ） A．点在线段上时，为定值 B．点在线段上时，为定值 C．的最大值为2 D．使的点轨迹长度为 三、填空题 19．（24-25高一下·浙江温州·期中）已知向量，向量，则在上的投影向量是__________（注：本题答案用坐标表示） 20．（24-25高一下·浙江宁波·期中）已知在中，是斜边的中点，则__________. 21．（24-25高一下·浙江·期中）已知菱形的边长为2，设，若恒成立，则菱形面积的取值范围是______． 四、解答题 22．（24-25高一下·浙江·期中）已知向量和满足以下条件： (1)求和； (2)若且，求实数的值； (3)若且，，求． 23．（24-25高一下·浙江·期中）如图所示，在中，分别是边的中点，，.    (1)用表示； (2)求证：三点共线. 24．（24-25高一下·浙江·期中）如图，在等腰梯形中，，是的中点，在线段上（含边界），和相交于点，令、，    (1)若是的中点，用和表示； (2)若，求并求的取值范围． 25．（24-25高一下·浙江温州·期中）如图，设，是平面内相交成60°角的两条数轴，，分别是与，轴正方向同向的单位向量.若则把有序数对叫做向量在坐标系中的坐标，记作，已知点，分别在，轴，，，，为非零实数，点满足. (1)求向量在坐标系中的坐标； (2)若，，求向量在坐标系中的坐标； (3)求的最小值. 26．（24-25高一下·浙江丽水·期中）如图，在梯形中，，，，E是边上一点（含端点），与交于点F，设，.    (1)若E与点C重合，求x，y的值； (2)若，求的值； (3)若存在点E，使得，求的取值范围. 27．（24-25高一下·浙江宁波·期中）对于一组向量，，，……，，（且），令，如果存在（），使得，那么称是该向量组的“长向量”. (1)设，且，若是向量组，，的“长向量”，求实数x的取值范围； (2)若，且，向量组，，，……，是否存在“长向量”？给出你的结论并说明理由； (3)若对于一组向量，，，……，（且），记已知T中的每一个向量都为该向量组的“长向量”，求证：. ( 地 城 考点0 4 平面向量在几何、物理中的应用 ) 一、单选题 1．（24-25高一下·浙江杭州·期中）如图所示，在矩形中，，点在边上运动（包含端点），则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·浙江丽水·期中）在等腰中，，点P在底边（包括端点）上运动，设的最小值为m，最大值为M，则（    ） A．m不是定值，M是定值 B．m是定值，M不是定值 C．m是定值，M是定值 D．m不是定值，M不是定值 3．（24-25高一下·浙江杭州·期中）在中，，D为BC的中点，点P在斜边BC的中线AD上，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．（22-23高一下·浙江·期中）已知图中正六边形的边长为6，圆O的圆心为正六边形的中心，直径为4，若点P在正六边形的边上运动，为圆O的直径，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高一下·浙江·期中）已知与是平面内两个非零向量，，，，点P是平分线上的动点.当取最小值时，的值为（    ）. A．. B．. C．. D．. 二、多选题 6．（24-25高一下·浙江宁波·期中）如图，一条河两岸平行，河的宽度，一艘船从河岸边的A地出发，向河对岸航行.已知船在静水中的速度的大小，水流方向为正东方向，其速度的大小为，这艘船到达河对岸的时间精确到0.1min，采用四舍五入法.则（    ） 参考数据：    A．这艘船到达河对岸的渡河时间最短时， B．这艘船到达河对岸的渡河时间最短为3min C．这艘船到达河对岸的渡河时间最短为3.1min D．这艘船到达河对岸的航程最短时，渡河时间最短 7．（22-23高一下·浙江杭州·期中）已知O是所在平面内一点，则下列结论正确的是（    ） A．若，则为等腰三角形 B．若，则O是的外心 C．若，则为钝角三角形 D．若，，则 8．（23-24高一下·浙江杭州·期中）设点O是所在平面内一点，则下列说法正确的是（    ） A．若，则O为的重心； B．若，则O为的垂心； C．若，则为等边三角形； D．若，则△BOC与△ABC的面积之比为． 三、填空题 9．（24-25高一下·浙江·期中）已知为等边三角形，线段MN的中点为A，且，则的取值范围是__________． 10．（23-24高一下·浙江·期中）勒洛三角形，也称圆弧三角形，是一种特殊三角形，在建筑、工业上应用广泛．如图所示，分别以正三角形的顶点为圆心，以边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形即为勒洛三角形．已知正三角形边长为2，点P为圆弧上的一点，且满足：，则的值为__________． 11．（22-23高一下·浙江·期中）已知平面向量，其中为单位向量．若与的夹角为，记为的最小值，则的最大值是______． 四、解答题 12．（23-24高一下·浙江杭州·期中）（1）若，求； （2）若，为单位向量，，的夹角为，求和函数，的最小值； （3）请在以下三个结论中任选一个用向量方法证明． ①直径所对的圆周角是直角；②平行四边形的对角线的平方和等于其四边长的平方和；③三角形的三条中线交于一点． 13．（23-24高一下·浙江嘉兴·期中）如图在直角梯形中，，，点E为CD的中点，以A为圆心AD为半径作圆交AB于点G，点P为劣弧DG（包含D，G两点）上的一点，AC与劣弧、BE分别交于点F，H.    (1)求向量与夹角的余弦值； (2)若向量，求实数x，y的值； (3)若向量与的夹角为，求的最小值. 14．（24-25高一下·浙江杭州·期中）在中，，，，为的三等分点（靠近点）． (1)求的值； (2)若点满足，求的最小值，并求此时的． 15．（24-25高一下·浙江杭州·期中）设两个非零向量、，，，方向逆时针旋转到方向所成的角为.定义伪叉积：.规定零向量与任意向量的伪叉积为零.已知对任意的、、、，满足，. (1)设，，计算和； (2)设，，求证：； (3)设四边形有外接圆，圆心为，半径为，对角线、相互垂直且交点为，，、交于，、分别为、的中点，求三角形的面积的最大值. 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题01平面向量 目目 考点01 平面向量的概念 题号 2 3 4 5 6 答案 B B C BD CD 目目 考点02 平面向量的运算 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D A C A ⊙ A A C B 题号 11 12 13 14 15 答案 ABD ACD ABD ABD BD 18.1,10] 19. 【详解】(1)EF=AP-AB=4D-B-b-a, EG=EB+BG LAB +片BC=20+ b Fc传传+-0. 故FEG-月 F.c-传-j+ 故a.b=2, 故cos(a,）= 21 丽 2x33 20.【详解】(1)(a-)c=(a-)2a+b)=0 1/13 丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 acos120 a.b=-1 :.(a-c=2a-i-a.6+a.6=5-2=0 =2 2时-a+-+2a+8=4-2以+1=4月 当a-月9地时- -4-0列-月 3 o67 4-3 2 所以向量6与c夹角的大小为30°. 21. 【详解】1)由PC=2AP,可得8C-B即-2BD-B,所以BP-号BA+8C, 3 M 9 29 所以P=37 (2)cosBA,BP= BA·BP BABP 又BA.BP=BA 3 2=3 所以cosBA,.BP= BA.BP 1137 BA BP 749 2/13 丽学科网 www.zx×k.com 让教与学更高效 (3)设边BC的中点为N,连接NA, MB-MC-(MN+NB)MIN-NB)=MN2_ 由余弦定理可得N=BM+BN2-2BA:BN cos B=22+(-2x2x2×)-9 224 N到8的距离为N0snB=x5,所以项列 3513 2 4 所以MB.MC 16 目目 考点03 平面向量基本定理及坐标表示 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D B C A B A D C A 题号 11 12 13 14 15 16 17 18 答案 B D ABD ACD ABC ACD BC BC 19.1,0) 20.10 21.(0,4] 22. 2a+b=(4,-1 【详解】(1)由 a-2b=(-3,-8) 则5ā=22a+b+a-2b=(5,-10),即a=(1,-2), 所以b=(2,3): (2)由(1)得a=(1,-2),b=(2,3), 则a+b=(3,1), 又c=(m-l,2m且c1a+b), 则，解得m= (3)由ā=(1，-2)，d=(x,y), 3/13 丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 所以a+d=(x+1,y-2), 又al(a+d, 所以1×(x+1+(-2)×y-2)=0,即x-2y+5=0, 由d=5,则x2+y2=25, x=-5x=3 解得 y=0 或{ y=4’ 即d=(-5,0)或d=(3,4) 23. 【详解】(1)如图，延长AD到G,使AG=2AD,连接BG,CG,得到平行四边形ABGC, 则4G=a+6,4D=AG-(a+, 2 2 西=-a-列 E D G 2)由1)知，正-号D=a+) BE=A正-B=a+b)-ā=3(6-2a, F-4c-5,F=F-丽=5-a=6-2),所以死-号丽， 所以BE,BF共线，又因为BE,BF有公共点B,所以B,E,F三点共线 24. 【详解】(1)因为E是AB的中点，所以AE=EB, 在等腰梯形ABCD中，因为2AD=2DC=2CB=AB=2, 所以DC=AE, 4/13 丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 所以AD=EC, 因为F是CD的中点，所以CF-0D, 所以肝-c+F-8C-历-元-0-正}正=而-证=6-： (2)因为DF=1DC, 所以BF=BC+CF=EC-EB-FC=AD-AE-(1-2)AE=AD-(2-2)AE=万-(2-)a BC=EC-EB=b-a,BE=-a, BM=xBF=x6-(2-1)xa=x(B-a)-(1-a)xa=xBC+(1-)xBE, 由C，,E,M共线，则x+(1-元)x=1, 即2：所以-2旺， 所以=压+8丽-亚+2肝=+26-2-刘2'5 所以AM=AE+EM=a+,16 2-λ 易得∠A=亚，a.b= 1 3 21 因为0小：所以令1}别： 25. 【详解】(1)由BP=2PA可得OP-OB=2(OA-0P) 3 即向量OP在坐标系Og,中的坐标为专m,3” 21 二m,。n； a若0i-0:0m-传号+写g 3 所以AB=0B-OA=(0,n)-(1,0)=-g+ne2 国为0m1西，0m.西-（传+6+网）=0 5/13 命学科网 www.zx×k.com 让教与学更高效 2-2,21-一，12-2211 -,e+二n-=nGe2+.ne2=-+=n+二n=0 33 3 363 解得n=-l±V33 4 所以向量OB在坐标系Oy中的坐标为 -1±V33】 0, 4月 12 (3)因为0p2= 4 所以 OP 9 m2+ n OA +2品4 OP 当”=-1，即n=-m时， OA 取得最小值，最小值为 3 26. 【详解】(1)由正=AC=D+DC-)AB+D,根据平面向量基本定理，可知x=),y=1 2由亚=号丽+而-号+ac+c0列-号+c-号丽得B+4C, ERC三点共线，：号兰y=1,解得) 2 所以AE=2AB+2AD 3 设A=mAE=2mAB+2"AD 3 3 :F、及、D三点共线，：2”+20=1，解得m=。 33 AF 即 AE 的值为子 (3)记∠BAD=0,设BE=tBC,te[0,1 则正=丽+8c=6+aC-)16+而， 由BD=AD-AB,因为AE⊥BD,所以BD.AE=0, -4D+00-丽-40=0， 则12c0s0-61c0s0+91-16+81-121c0s0=0, 6/13 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 所以cos0= 16-17t 构造y= ， 16-17t 求导得：y=-1712-18)+1816-17列 84 >0, 12-18t 12-18t (12-18) (12-18)2 所以设在到上单端描，年（一。后 12-18t cos0 e(-1,1), 6 27. 【详解】(1)由题意可得：回国≥瓦+G,a=(1,x+2),a,=(2,x+4),a,=(3,x+6) a+a2=(2,x+4)+(1,x+2)=(3,2x+6), 则V9+(x+6)2≥V9+(2x+6)2,解得：-4≤x≤0 所以实数x的取值范围-4,0]； (2)存在“长向量”，且“长向量”为a,a,理由如下： 由题意可符回如受+co受=1，若存在长向量石，只需使下-可s1, 因为a=(1,0),a=(0,-1,a=(-1,0),a=(0,1,a=(1,0)，a6=(0,-1,a=(-1,0) 所以S,=a+a,+4+…+a,=(0,-),故只需使 2 F-a=mtcos+-m+cos受+2cos+1=y2+2coss1, 2 即0≤2+2eos≤1，即-1sco经≤-7(pel,23.7） 2 当p=2或6时，符合要求，故存在“长向量”，且“长向量”为a,,。 (3)由题意，得a≥a+a+…+a， 即回≥回，+a++a, 即4≥（问+4++a), 即(@≥a+(回+…+（回+2，a+2aa++2a·a, 同理(a)≥(a)+(回)°++(a)+2aa+2aa++2aa., a)≥(a)+(回)++(a,)+2aa+2aa+…+2a,an 7/13 丽学科网 www.zx×k.com 让教与学更高效 个式相加并化简，得：0≥(a)+(可)+@+…(+a)+2aa+2a·a++2aa, 即(a+a+…+a≤0， a+a,+…+as0, 所以a+a,+…+a=0, 目目 考点04 平面向量在几何、物理中的应用 题号 1 2 3 4 6 7 6 答案 D C A D B AB AD ACD 10.1 1.2 12. 【详解】(1)因为ā=(1，，b=(1,2), 所以a-26=(1,1)-21,2)=(-1,-3)，a-6=(1,1)-(1,2)=(0,-1), 所以（ā-26）ā-6)=-1x0+(-3列x-1)=3; (2)因为a,五为单位向量，所以a=1,=l, --j-e-a59】 42 f(x)=a-x-a-xB)'=va-2xa.6+x-2xcos60+x 原-- 所以当x=时，函数f(x)=a-x6的最小值为3 选①： 设AB为圆O的直径，点C在圆上，证明：∠ACB=交 8/13 命学科网 www.zx×k.com 让教与学更高效 B 要证∠4CB=,即证AC-8C-0, 由A0=-Bo,AO=0C, C.BC-40+0C)BO+0C)-40.B0+40.0C+0C.B0+0C =-A0+A0.0C-0C.A0+0C2=0, 故aC1BC,所以∠4CB- 所以直径所对的圆周角是直角： 选②： 在平行四边形ABCD中，AC,BD为对角线， 证明：AC+BD=AB+DC+AD+BC 根据条件作出图形， 因为四边形ABCD为平行四边形， 所以AB=DC,AD=BC,AC=AB+AD, 所以AC=(AB+AD)}=AB+2AB.AD+AD, 因为BD=AD-AB, 所以BD=(AD-AB}=AD-2AD.AB+AB2, 所以AC+BD=2AB+2AD=AB+DC+AD+BC, 即平行四边形的对角线的平方和等于其四边长的平方和； 选③： 在ABC中，D,E,F分别为BC,AB,AC的中点，证明：AD,CE,BF相交于一点 由题意作出图形， 9/13 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B 设AC=a,BC-b, AB-CB-CA=-B+a.AD=4C+CD-a-16, 21 BF-BC+CF-b-1a. 2 设AD,CE相交于一点G,AG=AD(0<入<1，BG=uBF(0<μ<1， 则4G=而=-a-fa6, 又4G=丽+G=a-+5-a=u-6+归. 所以 入=μ-1 2 所以0号孤， 再设40，即相交于一点G,同理可证得G-号D。 即G,G,重合，即AD,CE,BF相交于一点， 所以三角形的三条中线交于一点 13. 【详解】(I)易得∠ABC=∠BAD=90°，且△BCD为正三角形， 所以AB=V5,AC=√万 以点B为原点，BC、BA分别为x、y轴正方向建立平面直角坐标系， 4j,c42a0c-2-t间.69 海F方c=方2同.E=同， 6-3 所以cosa= AF.BE2万V32 AF.BE1xV52√万14 10/13 专题01 平面向量 5大高频考点概览 考点01 平面向量的概念 考点02 平面向量的运算 考点03 平面向量基本定理及坐标表示 考点04 平面向量在几何、物理中的应用 ( 地 城 考点01 平面向量的概念 ) 一、单选题 1．（23-24高一下·浙江金华·期中）下列关于向量的描述正确的是（   ） A．若向量，都是单位向量，则 B．若向量，都是单位向量，则 C．任何非零向量都有唯一的与之共线的单位向量 D．平面内起点相同的所有单位向量的终点共线 【答案】B 【分析】利用单位向量的定义，即可判断出选项ABD的正误；选项C，利用共线向量的定义，即可判断出选项C的正误. 【详解】对于选项A，向量包括长度和方向，单位向量的长度相同均为，方向不定， 故向量和不一定相同，故选项A错误； 对于选项B，单位向量的长度相同均为，所以，故选项B正确； 对于选项C，任意一个非零向量有两个与之共线的单位向量，故选项C错误； 对于选项D，因为所有单位向量的模为，且共起点， 所以所有单位向量的终点在半径为的圆周上，故选项D错误； 故选：B. 2．（24-25高一下·浙江·期中）给出下列命题，正确的是（    ） A．的充要条件是且 B．若，则它们的起点和终点均相同 C．若存在实数，使得，则 D．若是平面内的四点，且，则四点一定能构成平行四边形 【答案】C 【分析】由，可得且向量与同向，可判定A错误；相等向量的起点和终点不一定相同，可判定B错误；根据向量的共线定理，可得判定C正确；根据可能在同一条直线上，可判定D错误. 【详解】对于A中，由，可得且向量与同向， 所以的必要不充分条件是且，所以A错误； 对于B中，若，则它们的起点和终点不一定均相同，所以B错误； 对于C中，若存在实数，使得，根据向量的共线定理，可得，所以C正确； 对于D中，若是平面内的四点，且，则可能在同一条直线上，不一定构成平行四边形，所以D错误. 故选：C. 3．（24-25高一下·浙江·期中）已知向量，则“与共线”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据讨论同向、反向共线两种情况，结合充分、必要性定义确定条件间的关系. 【详解】若与共线且，同向共线时，反向共线时，充分性不成立； 若，而，则与反向共线，必要性成立； 所以“与共线”是“”的必要不充分条件. 故选：B 4．（24-25高一下·浙江宁波·期中）已知向量，是平面上两个不共线的单位向量，且，，，则（    ） A．、、三点共线 B．、、三点共线 C．、、三点共线 D．、、三点共线 【答案】C 【分析】根据向量共线则判断即可. 【详解】对A，因为，，不存在实数使得，故、、三点不共线，故A错误； 对B，因为，，不存在实数使得，故、、三点不共线，故B错误； 对C，因为，，则，故、、三点共线，故C正确； 对D，因为，，不存在实数使得，故、、三点不共线，故D错误. 故选：C 二、多选题 5．（23-24高一下·浙江宁波·期中）下面的命题正确的有（    ） A．若，，则 B．方向相反的两个非零向量一定共线 C．若满足且与同向，则 D．“若是不共线的四点，且”“四边形是平行四边形” 【答案】BD 【分析】根据向量的定义和性质，逐项判断正误即可. 【详解】对于A，若，不一定平行，故A错； 对于B，方向相反的两个非零向量必定平行，所以方向相反的两个非零向量一定共线，故B正确 对于C，向量之间不能比较大小，只能比较向量的模，故C错误； 对于D，若A、B、C、D是不共线的四点，且，可得，且， 故四边形ABCD是平行四边形； 若四边形ABCD是平行四边形，可得，且， 此时A、B、C、D是不共线的四点，且，故D正确 故选：BD 6．（22-23高一下·浙江嘉兴·期中）已知向量不共线，若，，且，，三点共线，则关于实数的值可以是（    ） A．2， B．， C．2， D．， 【答案】CD 【分析】由，，三点共线，可得存在唯一实数，使，从而可得到的关系，进而可得答案 【详解】因为向量不共线，，，且，，三点共线， 所以存在唯一实数，使， 所以，所以， 所以， 故选：CD ( 地 城 考点02 平面向量的运算 ) 一、单选题 1．（24-25高一下·浙江·期中）在中，，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】运用平面向量减法法则即可得到. 【详解】. 故选：B. 2．（24-25高一下·浙江嘉兴·期中）已知，且向量与向量的夹角为，则（   ） A． B． C．2 D． 【答案】D 【分析】根据向量数量积的定义计算即可. 【详解】. 故选：D. 3．（24-25高一下·浙江杭州·期中）已知向量和向量的夹角为，且，则的值为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】根据向量的数量积可求的值. 【详解】, 故选：A. 4．（24-25高一下·浙江温州·期中）已知中，，，则在上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由数量积为0可知进而求出三角形边长，再由投影向量定义计算可得结果. 【详解】根据题意可得，由勾股定理可知； 则在上的投影向量为. 故选：C 5．（24-25高一下·浙江·期中）已知向量与的夹角为，，，若，则实数（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】A 【分析】利用结合数量积的定义可求的值. 【详解】因为，所以， 所以，故， 故选：A. 6．（24-25高一下·浙江·期中）设平面内三个非共线的单位向量两两之间的夹角相等，则（    ） A．1 B． C．5 D． 【答案】B 【分析】先根据题意确定两两之间的夹角，然后根据模长公式求解即可. 【详解】因为平面内三个非共线的单位向量两两之间的夹角相等，所以，所以 所以. 故选：B 7．（24-25高一下·浙江宁波·期中）等边的边长为2，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据投影的数量和投影向量的公式，即可求解. 【详解】因为是边长为的等边三角形，且， 可得向量在向量上的投影的数量为， 所以向量在向量上的投影向量为. 故选：A. 8．（24-25高一下·浙江绍兴·期中）若，是夹角为的两个单位向量，则与的夹角为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】应用向量夹角公式及数量积的运算律求夹角即可. 【详解】由题设， 由， 所以，而，则. 故选：A 9．（24-25高一下·浙江·期中）已知在平行四边形中，，，且，，则的值为（    ） A．-3 B．-6 C．-9 D．-12 【答案】C 【分析】结合图形，由向量的加法法则和数量积的运算律计算可得. 【详解】    在平行四边形中,，, 因为，， 所以， 两式相减可得， 所以. 故选：C 10．（24-25高一下·浙江·期中）已知，且与夹角为，动点M关于点A的对称点为S，点S关于点B的对称点为N，则的最小值为（   ） A．-8 B．-4 C．-2 D．2 【答案】B 【分析】由题意可得，可求得，当过时，可取得最小值，利用基本不等式可求得，可求的最小值. 【详解】由平面向量的平行四边形法则可得， 所以， 所以， 所以， 所以，当过时，可取得最小值， 又，又， 可得，取等号，此时， 此时与共线反向，此时最小，最小值为. 故选：B.    二、多选题 11．（24-25高一下·浙江杭州·期中）已知是两个互相垂直的单位向量，，则下列结论中正确的有（    ） A． B． C． D．与的夹角为 【答案】ABD 【分析】先利用求模公式以及数量积的运算律得出，再利用求模公式、数量积的运算律、向量的夹角公式逐一判断ABD；设，利用平面向量基本定理判断的存在性判断C. 【详解】由题意可知，，且， 则， ， ， 故，B正确； ，故A正确； 因，， 若，则，使得， 因不共线，则，此方程组无解， 故与不共线，故C错误； 因， 则， 因，则，故D正确. 故选：ABD 12．（24-25高一下·浙江·期中）对于任意两个非零向量和，下列命题中正确的是（    ） A． B． C．在方向上的投影向量的模为 D．向量与向量垂直 【答案】ACD 【分析】由平面向量数量积的运算性质可判断A选项；利用特例法可判断B选项；利用投影向量的定义可判断C选项；利用平面向量垂直的向量表示可判断D选项. 【详解】对于A选项，由平面向量数量积的性质可得，A对； 对于B选项，不妨设、为相互垂直的两个单位向量，则， ，同理可得， 此时，B错； 对于C选项，在方向上的投影向量为， 故在方向上的投影向量的模为，C对； 对于D选项，因为， 所以向量与向量垂直，D对. 故选：ACD. 13．（24-25高一下·浙江丽水·期中）已知平面向量，，都是单位向量，且，则以下命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则在上的投影向量是 【答案】ABD 【分析】选项A：利用数量积的定义求解即可，选项B：当时，结合向量平行时向量数量积的特点求解即可，选项C：当时，利用向量数量积的定义求解即可，选项D：当时，利用投影向量的求法求解即可. 【详解】选项A：和都是单位向量，当时，说明和同向，即. 此时，故，由于是单位向量，故.选项A正确. 选项B：若,，两边取模长平方得：, 展开左边： 解得:，说明 和反向平行，即平行.选项B正确. 选项C：若，则.，两边取模长平方得： 展开左边： 解得:，选项C错误. 选项D：若，则在上的投影向量是.，代入 并取模长平方： 展开得： 解得:，投影向量为.选项D正确. 故选：ABD. 14．（24-25高一下·浙江台州·期中）已知向量，的夹角为，，，，则（   ） A．在方向上的投影向量的模为 B．在方向上的投影向量的模为 C．的最小值为 D．取得最小值时， 【答案】ABD 【分析】A先计算，再利用公式计算；B先计算，再利用公式计算；C 先利用向量求模公式计算 ，再求一元二次函数的最小值即可；D求证即可. 【详解】由条件可得，， 则在方向上的投影向量的模为，故A正确； 因， 则在方向上的投影向量的模为，故B正确； 由，其为开口朝上的一元二次函数， 故当时其有最小值，则的最小值为，故C错误； 由C选项可知，取得最小值时， 则，则，故D正确. 故选：ABD 15．（24-25高一下·浙江杭州·期中）已知点O在所在的平面内，则下列命题正确的是（    ） A．若O为的外心，， 则 B．若O为的垂心，，则 C．若，则与的面积之比为 D．若，的面积为8，则的面积为14 【答案】BD 【分析】对A，利用向量线性运算可得，根据向量数量积运算律求解判断；对B，由，结合得解；对C，由奔驰定理得解；对D，将条件式利用向量运算转化为，再由奔驰定理得解. 【详解】对于A，由，，则， ，故A错误； 对于B，由，又， 所以，故B正确； 对于C，因为，由奔驰定理可得，故C错误； 对于D，由，则, 即，由奔驰定理可得， 又，则，故D正确. 故选：BD. 三、填空题 16．（24-25高一下·浙江宁波·期中）如图，设是平面内相交成角的两条数轴，分别是与轴、轴正方向同向的单位向量.若向量，则把有序数对叫做向量在斜坐标系中的坐标.设向量在斜坐标系中的坐标分别为，则__________. 【答案】 【分析】利用平面向量数量积的定义可求得的值，由题意得出，，利用平面向量数量积的运算性质可求得的值. 【详解】由平面向量数量积的定义可得， 由题意可得，， 所以. 故答案为：. 17．（24-25高一下·浙江·期中）已知，为平面中的单位向量，满足，若，，且，则实数________． 【答案】 【分析】利用向量垂直的性质即可求解. 【详解】因为，且，， 所以， 即， 所以， 解得. 故答案为：. 18．（24-25高一下·浙江·期中）如图，为半圆的直径，点为的中点，点为线段上的一动点（含端点，）.若，则的取值范围是______. 【答案】 【分析】由圆的性质得到，然后根据数量积的性质得到，最后根据的范围计算即可. 【详解】因为点为的中点，，所以， ， 因为点为线段上的一动点，， 所以，所以的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题 19．（24-25高一下·浙江·期中）如图，在平行四边形中，，，点E是的中点，F是线段上靠近点A的三等分点，，设，. (1)若，求的大小； (2)若，，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据向量的数量积公式及运算律计算求解； （2）应用向量的数量积公式及夹角余弦公式计算求解； 【详解】（1）， ， ， 故. （2），， ， 故， 故. 20．（24-25高一下·浙江·期中）已知向量与的夹角为，且，，若，． (1)当时，求实数的值； (2)当取最小值时，求向量与夹角的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由，结合数量积的运算律即可求解； （2）由可确定时，得到，再由向量夹角公式即可求解. 【详解】（1） ∴ ∴ （2） 当时，，此时 所以向量与夹角的大小为30°． 21．（23-24高一下·浙江杭州·期中）在中，点在边上，，，，． (1)求的模； (2)求向量与夹角的余弦值； (3)若点在边上，求的范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由已知可得，两边平方可求； （2）求得，利用向量的夹角公式可求向量与夹角的余弦值； （3）设边的中点为，连接，，利用余弦定可得，进而可得结论. 【详解】（1）由，可得，所以， 可得， 所以； （2）， 又， 所以； （3）设边的中点为，连接， ， 由余弦定理可得， 到的距离为，所以， 所以. ( 地 城 考点0 3 平面向量基本定理及坐标表示 ) 一、单选题 1．（24-25高一下·浙江温州·期中）已知平面向量，，若，则实数（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用平面向量共线的坐标表示可求得实数的值. 【详解】因为平面向量，，且，则，所以. 故选：B. 2．（24-25高一下·浙江·期中）已知，，若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用向量数量积的坐标表示计算可得结果. 【详解】由可得， 即可得，解得. 故选：D 3．（24-25高一下·浙江嘉兴·期中）在平行四边形中，点为线段的中点，记，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用向量的线性运算计算判断. 【详解】在平行四边形中，点为线段的中点， 记，，. 故选：B. 4．（24-25高一下·浙江·期中）中，点是上靠近点的五等分点，设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用给定的基底，结合向量线性求解. 【详解】由点是上靠近点的五等分点，得，则， 所以. 故选：C 5．（24-25高一下·浙江丽水·期中）已知向量，满足，，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【分析】首先计算出，然后根据坐标求模公式计算即可. 【详解】因为，， 两式相加得，即，， 所以， 故选：A 6．（24-25高一下·浙江衢州·期中）若，且在方向上的投影向量为，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用投影向量的概念列式即可求数量积，从而可求夹角大小. 【详解】根据在方向上的投影向量为，可得： ， 根据，又因为， 所以， 又因为，所以， 故选：B. 7．（24-25高一下·浙江·期中）若向量，则“”是“向量的夹角为锐角”的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】先根据向量的夹角为锐角求出的范围，再判断条件即可. 【详解】因为向量的夹角为锐角，所以，且向量不共线， 当向量共线时，， 故“”是“向量的夹角为锐角”的必要不充分条件， 故选：A. 8．（24-25高一下·浙江·期中）设非零向量与的夹角为，定义与的“向量积”：是一个向量，它的模，若，则（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】D 【分析】利用向量夹角余弦公式得到，由同角三角函数关系得到正弦值，进而代入公式求出答案. 【详解】， 故， 所以， 故. 故选：D 9．（24-25高一下·浙江宁波·期中）如图，在中，，且BF与CE交于点M，设，则（   ） A． B． C． D．－1 【答案】C 【分析】分别利用和三点共线表示出，再利用平面向量的基本定理列方程组，解出即可. 【详解】因为三点共线，且，所以， 又因为三点共线，且，所以， 可得，解得，所以. 故选：C 10．（24-25高一下·浙江嘉兴·期中）已知，，是平面内一点，则最小值是（   ） A． B． C． D．0 【答案】A 【分析】建立平面直角坐标系，利用坐标法求解. 【详解】如图，以中点为坐标原点，为轴，为轴建立平面直角坐标系，则有 ，，，设，则 ， 当，时，上式最小值为. 故选：A. 11．（24-25高一下·浙江宁波·期中）如图，在中，已知，，P是线段与的交点，若，则的值为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【分析】设且，应用向量加减、数乘的几何意义得，结合向量共线的推论得求参数，即可得. 【详解】设且，则， 又，则， 由共线，则，可得， 所以. 故选：B 12．（24-25高一下·浙江五湖联盟·期中）在中，点D在BC上，且满足，点E为AD上任意一点，若实数x，y满足，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据平面向量基本定理及共线向量定理的推论，由三点共线得，且，再根据“1”的代换，运用基本不等式可得答案. 【详解】， 由三点共线可得，且， 所以， 当且仅当即时等号成立. 故选：D. 二、多选题 13．（24-25高一下·浙江·期中）若是一组基底，则下列各组向量中，可以作为基底的有（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据基底的概念逐项分析即可判断. 【详解】对于A，由已知是一组基底，则与不共线， 设，则，无解， 所以不存在实数使得，即与不共线， 所以可以作为一组基底，故A正确； 对于B，设，则，无解， 所以不存在实数使得，即与不共线， 所以可以作为一组基底，故B正确； 对于C，，即与共线， 所以不可以作为基底，故C错误； 对于D，设，则，无解， 所以不存在实数使得，即与不共线， 所以可以作为一组基底，故D正确； 故选：ABD. 14．（24-25高一下·浙江台州·期中）设向量，，则下列叙述正确的是（    ） A．若， B．与垂直的单位向量只能为， C．若，则与的夹角为 D．若，向量在向量上的投影向量为 【答案】ACD 【分析】结合向量平行的坐标表示，验证A的真假；结合单位向量的概念判断B的真假；利用向量数量积的坐标运算求向量夹角，判断C的真假；求投影向量判断D的真假. 【详解】对A：当时，，，，所以，故A正确； 对B：与垂直的单位向量可以是，也可以是，故B错误； 对C：若，则，所以与的夹角的余弦为：，又，所以，故C正确； 对D：若，向量在向量上的投影向量为：，故D正确. 故选：ACD 15．（24-25高一下·浙江·期中）已知向量，，，则以下说法正确的是（   ） A． B．在方向上的投影向量为 C．与垂直 D．若与的夹角为锐角，则的取值范围是 【答案】ABC 【分析】由向量模公式，可得判定A正确；根据在方向上的投影向量计算公式，可判定B正确；由，可判定C正确；根据与的夹角为锐角，且与不同向共线，得到不等式，可判定D错误. 【详解】由向量，，， 对于A，由，所以A正确； 对于B，由， 所以在方向上的投影向量为，所以B正确； 对于C，由， 可得，所以，所以C正确； 对于D，由， 因为与的夹角为锐角，可且与不同向共线， 由，解得， 又由，解得， 所以与的夹角为锐角时，实数的取值范围为，所以D错误. 故选：ABC. 16．（24-25高一下·浙江杭州·期中）在中，是中点，，且交于，则（   ） A．为的中点 B． C．若，且，则 D．若，则的最大值为． 【答案】ACD 【分析】根据向量的线性运算、数量积运算及三点共线的性质逐一分析可判断；根据向量的数量积运算、向量夹角的余弦值公式结合基本不等式可判断. 【详解】对于：由题意得， 设，因为三点共线， 所以，且，解得. 所以，所以为的中点，故正确； 对于：由知为的中点， 所以，故错误； 对于：由知， ，故正确； 对于：设， 所以，， 因为， 所以， 所以，即， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以，所以的最大值为，故正确. 故选：. 17．（24-25高一下·浙江·期中）已知的内角，，，为所在平面上一点，设，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BC 【分析】对A，B，对变形可得，结合已知条件即可求解；对C，D，结合已知条件，首先利用数量积公式求出和的值，再利用得到关于和的两个关系式，进而即可求解； 【详解】对于A，B，因为，则， 所以， 若，则， 由题易知点不在上，即不共线， ，解得，故A错误，B正确； 对于C，D，若，则是的外心， 故， 同理，可得， 由，知， ，即， 又，可得， 联立，解得，， 所以，，故C正确，D错误. 故选：BC. 18．（24-25高一下·浙江杭州·期中）正方形的边长为2，动点在正方形内部及边上运动，，则下列结论正确的有（   ） A．点在线段上时，为定值 B．点在线段上时，为定值 C．的最大值为2 D．使的点轨迹长度为 【答案】BC 【分析】A选项，建立平面直角坐标系，写出点的坐标，设，故，不是定值；B选项，设，计算出；C选项，设，，表达出，故当时，取得最大值，最大值为2，C正确；D选项，由C得到，点轨迹为直线在正方形内的部分，即线段，由勾股定理求出轨迹长度. 【详解】A选项，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立平面直角坐标系， 则，， 当在线段上时，设，， 则，不是定值，A错误； B选项，点在线段上时，设，， ，为定值，B正确； C选项，，设，，， 由得，， 所以，即， ，故当时，取得最大值，最大值为2，C正确； D选项，由C知，，故，即， 所以点轨迹为直线在正方形内的部分，即线段， 其中中，令得，令得， 故，故使的点轨迹长度为，D错误. 故选：BC 三、填空题 19．（24-25高一下·浙江温州·期中）已知向量，向量，则在上的投影向量是__________（注：本题答案用坐标表示） 【答案】 【分析】根据题意，求得且，结合投影向量的计算公式，即可求解. 【详解】由向量，可得且， 所以向量在向量上的投影向量为. 故答案为：. 20．（24-25高一下·浙江宁波·期中）已知在中，是斜边的中点，则__________. 【答案】10 【分析】由题意以为坐标原点，CA边为x轴，CB边为y轴建立直角坐标系，求出各点坐标，利用向量坐标和向量数量积的坐标计算方法即可求解. 【详解】由题意以为坐标原点，建立直角坐标系， 可得，，， 故可得，，， ∴， 故. 故答案为：10. 21．（24-25高一下·浙江·期中）已知菱形的边长为2，设，若恒成立，则菱形面积的取值范围是______． 【答案】 【分析】先根据向量相加得出，再应用菱形面积公式，得出菱形面积范围. 【详解】菱形的边长为2， 设，若恒成立， 由，所以， 在中， ， 则菱形面积为， 因为，， 当时，菱形面积最大值为， 故答案为：. 四、解答题 22．（24-25高一下·浙江·期中）已知向量和满足以下条件： (1)求和； (2)若且，求实数的值； (3)若且，，求． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】（1）根据向量线性运算的坐标表示直接解方程即可； （2）根据向量线性运算及向量共线的坐标表示列方程，解方程即可； （3）根据向量垂直的坐标表示列方程，解方程即可. 【详解】（1）由， 则，即， 所以； （2）由（1）得，， 则， 又且， 则，解得； （3）由，， 所以， 又， 所以，即， 由，则， 解得或， 即或. 23．（24-25高一下·浙江·期中）如图所示，在中，分别是边的中点，，.    (1)用表示； (2)求证：三点共线. 【答案】(1)， (2)证明见解析 【分析】（1）根据平面向量的线性运算解题即可； （2）先根据平面向量共线定理证明共线，再根据向量有公共点，即可证明三点共线. 【详解】（1）如图，延长到，使，连接，得到平行四边形， 则， .    （2）由（1）知，， ， ，所以， 所以共线，又因为有公共点，所以三点共线. 24．（24-25高一下·浙江·期中）如图，在等腰梯形中，，是的中点，在线段上（含边界），和相交于点，令、，    (1)若是的中点，用和表示； (2)若，求并求的取值范围． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）根据向量线性运算法则直接计算； （2）由，根据向量线性运算法则直接计算，再利用转化法表示向量模长，结合函数性质可得取值范围. 【详解】（1）因为是的中点，所以， 在等腰梯形中，因为， 所以， 所以， 因为是的中点，所以， 所以； （2）因为， 所以 又，， 设， 由，，共线，则， 即，所以， 所以， 所以 易得，， 所以 因为，所以令， 所以. 25．（24-25高一下·浙江温州·期中）如图，设，是平面内相交成60°角的两条数轴，，分别是与，轴正方向同向的单位向量.若则把有序数对叫做向量在坐标系中的坐标，记作，已知点，分别在，轴，，，，为非零实数，点满足. (1)求向量在坐标系中的坐标； (2)若，，求向量在坐标系中的坐标； (3)求的最小值. 【答案】(1) (2) (3). 【分析】（1）将表示成以，为基底的向量，即可得出其坐标； （2）根据向量线性运算的坐标表示并利用得到方程，解方程可求得向量的坐标； （3）得出关于坐标的表达式，再利用二次函数性质即可求得其最小值. 【详解】（1）由可得. 即. 即向量在坐标系中的坐标为； （2）若，则. 所以. 因为，. 即. 解得， 所以向量在坐标系中的坐标为； （3）因为，； 所以； 当，即时，取得最小值，最小值为. 26．（24-25高一下·浙江丽水·期中）如图，在梯形中，，，，E是边上一点（含端点），与交于点F，设，.    (1)若E与点C重合，求x，y的值； (2)若，求的值； (3)若存在点E，使得，求的取值范围. 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）利用向量的加法运算即可求解； （2）利用三点共线的向量性质来求解含参系数即可； （3）利用向量的数量积运算，结合函数求值域即可. 【详解】（1）由，根据平面向量基本定理，可知，. （2）由， 三点共线，，解得， 所以 设 三点共线，，解得， 即的值为. （3）记，设， 则， 由，因为，所以， 即， 则， 所以，构造，求导得：， 所以在上单调递增，即 ，. 27．（24-25高一下·浙江宁波·期中）对于一组向量，，，……，，（且），令，如果存在（），使得，那么称是该向量组的“长向量”. (1)设，且，若是向量组，，的“长向量”，求实数x的取值范围； (2)若，且，向量组，，，……，是否存在“长向量”？给出你的结论并说明理由； (3)若对于一组向量，，，……，（且），记已知T中的每一个向量都为该向量组的“长向量”，求证：. 【答案】(1) (2)存在“长向量”，且“长向量”为，，理由见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）根据向量模长的不等关系，解得的范围即可； （2）根据“长向量”的定义，结合三角函数的性质解不等式即可； （3）由平方得到， 同理得到：，个式子相加即可求证. 【详解】（1）由题意可得：，，， ， 则，解得：. 所以实数x的取值范围； （2）存在“长向量”，且“长向量”为，，理由如下： 由题意可得，若存在“长向量”，只需使， 因为，，，，，， 所以，故只需使 ， 即，即， 当或6时，符合要求，故存在“长向量”，且“长向量”为，. （3）由题意，得， 即， 即， 即， 同理， 个式相加并化简，得：， 即， ， 所以， ( 地 城 考点0 4 平面向量在几何、物理中的应用 ) 一、单选题 1．（24-25高一下·浙江杭州·期中）如图所示，在矩形中，，点在边上运动（包含端点），则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】以为坐标原点建立直角坐标系，设，得，根据的范围即可求出的范围. 【详解】 以为坐标原点，建立如图所示直角坐标系， 因为在矩形中，， 则， 又点在边上运动（包含端点）， 设，则， ， 则， 因为，所以， 故选：D. 2．（24-25高一下·浙江丽水·期中）在等腰中，，点P在底边（包括端点）上运动，设的最小值为m，最大值为M，则（    ） A．m不是定值，M是定值 B．m是定值，M不是定值 C．m是定值，M是定值 D．m不是定值，M不是定值 【答案】C 【分析】等腰三角形，可以以底边的中点建立直角坐标系，然后写出各个点的坐标表示进行坐标运算. 【详解】以BC中点O建立直角坐标系，则A、B、C点坐标分别为，，， 点P在底边（包括端点）上运动，所以， ， 因为，所以的最小值为，最大值为，都为定值. 故选：C. 3．（24-25高一下·浙江杭州·期中）在中，，D为BC的中点，点P在斜边BC的中线AD上，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】以为坐标原点，为轴的正方向建立平面直角坐标系，，求出点坐标可得，利用二次函数的单调性可得答案. 【详解】以为坐标原点，为轴的正方向建立平面直角坐标系， 所以，因为D为BC的中点，所以， ，设，所以， 所以，可得，， 所以， 因为，所以. 故选：A.    【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是以为坐标原点建立平面直角坐标系，转化为坐标的运算求数量积. 4．（22-23高一下·浙江·期中）已知图中正六边形的边长为6，圆O的圆心为正六边形的中心，直径为4，若点P在正六边形的边上运动，为圆O的直径，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正六边形的性质，求得内切圆和外接圆的半径，再化简得到，结合，即可求解. 【详解】因为正六边形的边长为6，圆O的圆心为正六边形的中心，直径为4，所以正六边形的内切圆的半径为，外接圆的半径， 又由 ， 因为，即，可得， 所以的取值范围是. 故选：D 5．（24-25高一下·浙江·期中）已知与是平面内两个非零向量，，，，点P是平分线上的动点.当取最小值时，的值为（    ）. A．. B．. C．. D．. 【答案】B 【分析】用的方向向量坐标表示出的最小值，从而求出. 【详解】设点在原点 . 向量 ，因为且沿 轴， 向量 ，且 ， 角平分线的方向向量是 和 的单位向量的和： ，，所以角平分线方向向量为 ， ， 所以方向的单位向量为：， 设，则， ​​.，， ， ， 这是一个关于的二次函数.当，最小. 此时. 故选：B. 二、多选题 6．（24-25高一下·浙江宁波·期中）如图，一条河两岸平行，河的宽度，一艘船从河岸边的A地出发，向河对岸航行.已知船在静水中的速度的大小，水流方向为正东方向，其速度的大小为，这艘船到达河对岸的时间精确到0.1min，采用四舍五入法.则（    ） 参考数据：    A．这艘船到达河对岸的渡河时间最短时， B．这艘船到达河对岸的渡河时间最短为3min C．这艘船到达河对岸的渡河时间最短为3.1min D．这艘船到达河对岸的航程最短时，渡河时间最短 【答案】AB 【分析】讨论的大小，分别求出过河的时间，从而判断ABC；由平行四边形法则结合勾股定理判断D. 【详解】对于A：设与的夹角为，船行驶的时间为， ，    当为钝角时， 当为锐角时， 当为直角时， 则当为钝角时，， 当为锐角时，， 所以当船垂直于对岸行驶，即，所用时间最短，故A正确； 对于B：由A可知，这艘船到达河对岸的渡河时间最短为，故B正确，C错误； 对于D：设点是河对岸一点，与河岸垂直， 那么当这艘船实际沿着方向行驶时，船的航程最短， 由下图可知，设，则， 此时，船的航行时间，故D错误；    故选：AB 7．（22-23高一下·浙江杭州·期中）已知O是所在平面内一点，则下列结论正确的是（    ） A．若，则为等腰三角形 B．若，则O是的外心 C．若，则为钝角三角形 D．若，，则 【答案】AD 【分析】由数量积的运算判断A，根据向量线性运算判断B，根据数量积的定义判断C，由垂直的向量表示及三角形内心性质判断D. 【详解】由，得，即，故A对； 由，取中点，连接，则， 所以共线，且在线段上，，即为的重心，故B错； 由，得，所以为钝角，为锐角，角与角不一定为钝角,不一定为钝角三角形，故C错； 由，，得，知为的垂心，所以，故D对. 故选：AD. 8．（23-24高一下·浙江杭州·期中）设点O是所在平面内一点，则下列说法正确的是（    ） A．若，则O为的重心； B．若，则O为的垂心； C．若，则为等边三角形； D．若，则△BOC与△ABC的面积之比为． 【答案】ACD 【分析】A由向量关系可以判断出为中线的三等分点，可知为重心；B由向量关系可以判断出为边与边垂直平分线的交点，可知不是垂心；C由判断出三角形为等腰三角形，由判断出，可知为等边三角形；D令，，则为的重心，由此求出面积比即可. 【详解】对于A，如图，取边中点，连接边上的中线，则， 又∵，∴，∴， ∴为的重心，故选项A正确； 对于B，如图，取边中点，边中点，连接，， 则，， ∵，∴， ∴，∴，，∴，， ∴，分别是，边上的垂直平分线， ∴，为的外心，故选项B错误； 对于C，作角的内角平分线与边交于点， ∵为方向的单位向量，为方向的单位向量， ∴（），∴（）， ∴，∴，∴，为等腰三角形， 又∵，且，∴， ∴为等边三角形，故选项C正确； 对于D，设，，由得， 则由选项A可知，为的重心，设的面积， ∴， 又∵，， ∴，，， ∴， ∴，故选项D正确. 故选：ACD. 三、填空题 9．（24-25高一下·浙江·期中）已知为等边三角形，线段MN的中点为A，且，则的取值范围是__________． 【答案】 【分析】根据已知条件建系，再应用三角换元计算化简，应用辅助角公式及正弦函数值域求解即可. 【详解】 因为为等边三角形，且，以A为坐标原点以为x轴，过A且垂直AB的直线为轴建系， 则，因为，设， 所以， 所以 ， 所以，所以， 所以的取值范围是. 故答案为： 10．（23-24高一下·浙江·期中）勒洛三角形，也称圆弧三角形，是一种特殊三角形，在建筑、工业上应用广泛．如图所示，分别以正三角形的顶点为圆心，以边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形即为勒洛三角形．已知正三角形边长为2，点P为圆弧上的一点，且满足：，则的值为__________． 【答案】1 【分析】建立平面直角坐标系，设,，利用的面积和点到直线的距离公式，求得，再根据平面向量数量积的坐标运算进行计算即可得出结论． 【详解】如图，以为原点建立平面直角坐标系， 因为弧在圆上，设,，则， 设点到直线的距离为， 由，可得， 由，，， 可得直线的方程为：，即， 故点到直线的距离， 因为在直线上方，所以， 所以，故， 由，，， 可得 ， 则的值为1． 故答案为：1． 11．（22-23高一下·浙江·期中）已知平面向量，其中为单位向量．若与的夹角为，记为的最小值，则的最大值是______． 【答案】 【分析】根据，可得四点共圆，即可共线得，结合图形即可求解最值. 【详解】令，，， 为单位向量．，则， 由于与的夹角为，所以， ，故不妨取，，四点共圆情况，, 外接圆的直径为，在优弧上， ，表示起点为，终点在直线上的向量， 由于 ， 到的距离为， 设到的最大距离为 由于为的最小值，则当时最小， 故的最大值为，此时过圆心且 故答案为：． 四、解答题 12．（23-24高一下·浙江杭州·期中）（1）若，求； （2）若，为单位向量，，的夹角为，求和函数，的最小值； （3）请在以下三个结论中任选一个用向量方法证明． ①直径所对的圆周角是直角；②平行四边形的对角线的平方和等于其四边长的平方和；③三角形的三条中线交于一点． 【答案】（1）（2），最小值为（3）证明见详解 【分析】（1）由，，利用向量数量积的坐标运算求解即可； （2）由，为单位向量，所以，，求解即可，由，结合二次函数的最值即可求解； （3）选①，设为圆的直径，点在圆上，由，，计算即可；选②，作平行四边形，根据，，两式分别完全平方求解即可；选③，设，相交于一点，可证得，设，相交于一点，同理可得，即可得证. 【详解】（1）因为，， 所以，， 所以； （2）因为，为单位向量，所以，， ， ， 所以当时，函数的最小值为； 选①： 设为圆的直径，点在圆上，证明：. 要证，即证， 由，， 所以 ， 故，所以， 所以直径所对的圆周角是直角； 选②： 在平行四边形中，，为对角线， 证明：. 根据条件作出图形， 因为四边形为平行四边形， 所以，，， 所以， 因为， 所以， 所以， 即平行四边形的对角线的平方和等于其四边长的平方和； 选③： 在中，，，分别为，，的中点，证明：，，相交于一点. 由题意作出图形， 设，， 则，， ， 设，相交于一点，，， 则， ， 又， 所以，解得，， 所以， 再设，相交于一点，同理可证得， 即，重合，即，，相交于一点， 所以三角形的三条中线交于一点. 13．（23-24高一下·浙江嘉兴·期中）如图在直角梯形中，，，点E为CD的中点，以A为圆心AD为半径作圆交AB于点G，点P为劣弧DG（包含D，G两点）上的一点，AC与劣弧、BE分别交于点F，H.    (1)求向量与夹角的余弦值； (2)若向量，求实数x，y的值； (3)若向量与的夹角为，求的最小值. 【答案】(1) (2)， (3)0 【分析】（1）点为原点，、分别为、轴正方向建立平面直角坐标系，由向量的夹角的坐标运算求解即可； （2）由平面向量基本定理可得，由，，三点共线求出，由此可求出实数x，y的值； （3）法一：点为中点，因为，所以以为直径的圆与圆外切.由圆周角大于圆外角即可得出答案；法二：设，，则，求出，，由向量的夹角公式求解即可. 【详解】（1）易得，且为正三角形， 所以，. 以点为原点，、分别为、轴正方向建立平面直角坐标系， ， 得，， 所以.    （2）， 又因为，，三点共线，所以，解得. ， ，解得， （3）法一：点为中点，因为， 所以以为直径的圆与圆外切. 因为圆周角大于圆外角， 所以的最大值为，即的最小值为0. 法二：设， 且如（1）所建平面直角坐标系，则， ，. 当时，取到最小值0， 所以的最小值为0. 14．（24-25高一下·浙江杭州·期中）在中，，，，为的三等分点（靠近点）． (1)求的值； (2)若点满足，求的最小值，并求此时的． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将化为和表示，利用和的长度和夹角计算可得结果； （2）用、表示，求出关于的函数解析式，根据二次函数知识可求出结果. 【详解】（1）因为为的三等分点（靠近点），所以， 所以， 所以 . （2）因为，所以， 因为， 所以 ， 所以当时，取得最小值. 15．（24-25高一下·浙江杭州·期中）设两个非零向量、，，，方向逆时针旋转到方向所成的角为.定义伪叉积：.规定零向量与任意向量的伪叉积为零.已知对任意的、、、，满足，. (1)设，，计算和； (2)设，，求证：； (3)设四边形有外接圆，圆心为，半径为，对角线、相互垂直且交点为，，、交于，、分别为、的中点，求三角形的面积的最大值. 【答案】(1)， (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）利用平面向量数量积的坐标运算求出的余弦值，进而可得出的正弦值，结合题中定义可求得和的值； （2）不妨设射线、分别为角、的终边，则，设，，则，，利用题中定义结合两角差的正弦公式化简可证得结论成立； （3）建立合适的平面直角坐标系，利用向量叉乘将三角形的面积转化为，最后利用基本不等式即可求出其最大值. 【详解】（1）如下图所示： 由平面向量数量积的坐标运算可得， 则为锐角，且， 结合图形可知，， . （2）不妨设射线、分别为角、的终边，则， 设，，则，， 则 ， 故. （3）以点为坐标原点，直线、所在直线分别为、轴建立如下图所示的平面直角坐标系， 设，由题意知， . 由垂径定理知， ， ， 当且仅当时等号成立， 则， 当且仅当时等号成立， 综上所述三角形的面积的最大为. 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $