几何综合压轴2：圆综合-2021年中考数学必刷压轴题(湖南长沙专版)

《2021年中考数学必刷压轴题(湖南长沙专版)》 几何综合压轴2：圆综合 参考答案与试题解析 一．解答题（共20小题） 1．如图，是的直径，点在上，且，点是外一点，与相切于点，连接，过点作交于点，连接交于点． （1）求证：； （2）求证：是的切线； （3）若，，连接，求的长． 【解答】解：（1）， ， ． ． （2）连接，， ，， ， ， 在与中，， ； 又是的切线， ， 是的切线； （3）是的直径，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 过点作于点， ，， ． 2．如图，为上一点，点在直径的延长线上，且． （1）求证：； （2）求证：是的切线； （3）过点作的切线交的延长线于点，若，，求的长． 【解答】（1）证明：，， ， ， （2）证明：连接，如图所示： 则， 是的直径， ， ， ， ， ， 是的切线； （3）解：是的切线， ， 由（2）知， ， 又， ， ， ，， ， ， ， 在中，， ， 解得：． 3．如图，直线与轴交于点，与轴交于点，为线段的一个动点，以为圆心，长为半径作，交于点，连接并延长交于点，连接． （1）当时，证明：是等边三角形； （2）当时，求的半径； （3）当点在线段上运动时，求的最大值． 【解答】解：（1）直线与轴交于点，与轴交于点， 点，，点， ，， ， ， ，， ， ， 且， 是等边三角形； （2）如图1，过点作于， ， ， ，， ， ， ，， ，， ，， ， ， ， ； （3）如图2，连接，过点作于， ，， ，， ， 是直径， ， 又， ， ， ， 当时，的最大值为． 4．如图，为的直径，，，连接并延长，分别交于点、，连接． （1）求证：是的切线； （2）求证：； （3）若的半径为1，求的值． 【解答】（1）证明：是直径， ， ， ， ．， ， ， ， 是的切线． （2）证明：连接． ， ， 是直径， ， ， ， ， ， ， ， ， ． （3）解：的半径为1， ， ， ， 或（舍弃）， ， ， 在中，． 5．如图，已知是的直径，是上一点（不与、重合），为的中点，过点作弦于，是延长线上一点，且． （1）求证：是的切线； （2）连接与相交于点，的延长线交于，求证：； （3）若，试求的值． 【解答】解：（1）证明：如图1，连接， 是的直径， ， ， ， ， ， ， ， ， 又为半径， 是的切线； （2）如图2，连接， 为的中点， ，设垂足为， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：如图3， ，， ， ， 设，则， ， ，， ， ， ，， ，， ， ， ， ， ， 又， ， ， 过点作于点， ， ， ， 设，， ， ，， ， ， ． 6．如图1，在矩形中，，，点从点出发，沿边向终点以每秒的速度运动，同时点从点出发沿向终点以每秒的速度运动，、其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，设运动时间为秒．解答下列问题： （1）当在边时， ①当为　2　秒时，的长为？ ②连接，当为几秒时，的面积等于？ （2）如图2，以为圆心，长为半径作，在整个运动过程中，是否存在这样的值，使正好与的一边（或边所在的直线）相切？若存在，求出值；若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）①由题意得：，， 则，， 四边形是矩形， ， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：，或（不合题意舍去）， ， 即当为2秒时，的长为， 故答案为：2； ②如图1所示： 由题意得：点在边上， 的面积， ， 解得：，或（不合题意舍去）， 当为秒时，的面积等于； （2）存在这样的值，使正好与的边或相切，此时在上，且，理由如下： ①若与相切，过作于，如图3所示： 则，， 四边形是矩形， ，， ， ， ， ， 即， 解得：； ②若与相切，在上，，在上，如图所示： 则， 在中，由勾股定理得：， 解得：，或（不合题意舍去）， ； ③若与相切，当、两点中先到点时，如图4所示： 此时， 的半径为； ④若与相切，当点未到达点时，如图5所示： 则， ， 解得：， 当时，，则，故舍去； 综上所述，的值为秒或秒或秒． 7．如图，是半圆的直径，点是半圆上一点，点是的中点，于点，过点的切线交的延长线于点，连接，分别交、于点、，连接． （1）求证：； （2）求证：是线段的中点； （3）连接，若，，求的半径和的长． 【解答】（1）证明：连接，则，， ，， ； ； （2）证明：为直径， ， 于， ， ， ， ， ， ， ， ， ，即为斜边的中点； （3）解：连接， 弧弧， ， ， ， ， ， 故的半径为， ， ， ． 8．如图1，把放置在平面直角坐标系中，点为坐标原点，点的坐标为，点的坐标为，是边上的高线，是线段上一动点（点与点，．均不重合），过，，三点的外接圆分别交，于点，． （1）求的长及的值； （2）如图2，连接，当时， ①求的长；②求点的坐标；