几何综合压轴1：三角形四边形综合-2021年中考数学必刷压轴题(湖南长沙专版)

《2021年中考数学必刷压轴题(湖南长沙专版)》 几何综合压轴1：三角形四边形综合 参考答案与试题解析 1．如图，点是正方形的边延长线上一点，连接，过顶点作，垂足为，交边于点． （1）求证：； （2）连接，求的大小； （3）作点关于直线的对称点，连接，．猜想线段，，之间的数量关系并加以证明． 【解答】（1）证明：四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：如图1，连接， ， ， ， ， ， ， 四边形是正方形，是对角线， ， ； （3）解：， 理由如下：如图2，在线段上截取，使得，连接， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ，， 点关于直线的对称点， ， ， ， ， ， ． 2．如图，中， （1）当点为上一点， ①如图1，若点、分别在、上，，问：与有何数量关系？证明你的结论； ②如图2，若，作，使点在上，点在的延长线上，完成图2，判断与的数量关系，并证明； （2）如图3，当点为上的一点，，，，，直接写出的积． 【解答】解：（1）①， 理由如下：当，时， ， ， 在和中， ， ， ； 当、不垂直，、不垂直时， 如图1，过作于，于，则， 在四边形中，， ； ， ； ， 在和中， ， ， ； ②完成图2，如图2所示， 过作于，于， ，， ， ， ，又， ， ，又， ， ， ，， ， ， ， ； （2）连接， ，， ， ， ，又， ， 点、、、四点共圆， ， ，， ， ， ． 3．已知是锐角，点、在边上，点在边上，，且，，，． （1）如图1，当与边相交于点时，求证：； （2）当点在边上时，求的长； （3）当点在外部时，设，的面积为，求与之间的函数解析式，并写出定义域． 【解答】解：（1）， ，， ， ， ， ， ， ， ； （2）过作于， ， ， ， ， ， ； ，， ， ， ， ， ， 在中，， ，，； （3）过作与，，，， ， ， ， ， ， ，定义域为． 4．如图，以的两边、分别向外作等边和等边，与交于点，已知，，． （1）求证：； （2）求的度数及的长； （3）若点、分别是等边和等边的重心（三边中线的交点），连接、、，作出图象，求的长． 【解答】解：（1）和都为等边三角形， ，，， ， 即， 在与中， ， ； （2）； ， 设，交于， ， ； 如图①在上取点，使， 同（1）可得，， ，为等边三角形， ； （3）如图②，过点作于，设， 点、分别是等边和等边的重心， ，，， ，， ， ， ， ． 5．【阅读理解】我们知道，利用相似三角形性质求线段长是常用求线段的方法之一，如图1，在中，为上一点，若，可易证，从而可得，若已知其中两条线段的长即可求出第三条线段的长． （1）【尝试应用】如图2，在平行四边形中，为上一点，为上一点，，若，，求的长． （2）【拓展应用】如图3，在正方形中，是上一点，是内一点，，，，，请直接写出正方形的边长． 【解答】解：（1），， ， ，即， 解得，， 四边形为平行四边形， ； （2）分别延长，相交于点， 四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ， ， ，即， 解得，， ，， 四边形为平行四边形， ， ． 6．【感知】如图①，在四边形中，，点在边上，，求证：． 【探究】如图②，在四边形中，，点在边上，点在边的延长线上，，且，连接交于点． 求证：． 【拓展】如图③，点在四边形内，，且，过作交于点，若，延长交于点．求证：． 【解答】【感知】证明：， ， ， ， ． 【探究】证明：如图1，过点作于点，由（1）可知， ， ， ， 又，， ， ， 【拓展】证明：如图2，在上取点，使， 过点作，交的延长线于点，则， ，， ， ， ， ，， 而， ， ， ， ， ， ， ， 又， ， ， 又，， ， ． 7．如图，正方形的边长为1，点为边上一动点，连接并将其绕点顺时针旋转得到，连接，以、为邻边作矩形，与、分别交于点、，交延长线于点． （1）证明：点、、在同一条直线上； （2）随着点的移动，线段是否有最小值？若有，求出最小值；若没有，请说明理由； （3）连接、，当时，求的长． 【解答】（1）证明：四边形是正方形， ，， ，， ， ， ， ， ， 点、、在同一条直线上． （2）解：有最小值． 理由：设，，则，， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 有最小值，最小值为， 的最小值为． （3）解：四边形是矩形，， 四边形是正方形， ，， ， ，， ， ， ， ，， ， ，， ， 在上取一点，使得，则是等腰直角三角形，设，则， ， ， ． 8．如图①，在等腰中，，点在上（且不与点、重合），在的外部作等腰，使，连接，分别以，为邻边作平行四边形，连接． （1）请直接写出线段，的数量关系； （2）①将绕点逆时针旋转，当点在线段上时，如图②，连接，请判断线段，的数量关系，