代数综合（新定义）压轴2：几何条件下求值求范围-2021年中考数学必刷压轴题(湖南长沙专版)

《2021年中考数学必刷压轴题(湖南长沙专版)》 代数综合（新定义）压轴2：几何条件下求值求范围 参考答案与试题解析 一．解答题（共10小题） 1．若抛物线，，是常数，与直线满足，则称此直线与该抛物线具有“支干”关系．此时，直线叫做抛物线的“支线”，抛物线叫做直线的“干线”． （1）若直线与抛物线具有“支干”关系，求“干线”的最小值； （2）若抛物线的“支线”与的图象只有一个交点，求反比例函数的解析式； （3）已知“干线” 与它的“支线”交于点，与它的“支线”的平行线交于点，，记得面积为，试问：的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． 【解答】解：（1）由题意，，，解得， 抛物线的解析式为， ， ， 时，有最小值，最小值为． （2）由题意，① 抛物线的“支线”为， 由，消去得到， 抛物线的“支线”与的图象只有一个交点， △， ② 由①②可得，或，， 反比例函数的解析式为或． （3）的值是定值．理由如下： 不妨设，如图所示，与它的“支线”交轴于，直线与轴交于点，，，，， 由，消去得到， ，， ， 把代入上式化简得到， ， ， ，的值是定值． 2．已知抛物线与轴交于、两点在的左侧），与轴交于点，过点的直线与轴交于点，与抛物线交于点． （1）若且点与点关于轴对称，求的值； （2）若，，求直线的解析式； （3）若点在第一象限，问：是否存在直线，使得与相似？若存在，请求出直线的解析式，若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）在中， 当时，， ， ， ，， 当时，， ，，， 点与点关于轴对称， ， ，， ，且， ， ； （2）作的平分线交轴于点，过点作于点， 则，， 又， ， ， ①当点在轴正半轴时， 时，， ， ， ， ， 设，则，， 在中，， ，， ， ，， ， 又， ， ， ， ， ， ， 将，代入直线，得： ， ， ； ②当点与点关于轴对称时，， ， ， ， ； 综上，直线的解析式为或； （3）存在． ①当时，， ， ， ， ， ， ， 将，分别代入，得： ， ， ， 联立，得： ， ， ， 解得（舍去），， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； ②当时，， 又，， ， ， ， 将，分别代入，得： ， ， ， 联立，得： ， ， ， 解得（舍去），， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 综上，或． 3．若二次函数图象的顶点在一次函数的图象上，则称为的中雅函数，如：是的中雅函数． （1）判断二次函数是否为一次函数的中雅函数，并说明理由； （2）若关于的一次函数的中雅函数与轴两个交点间的距离为4，求直线与坐标轴所围三角形的面积； （3）已知关于的一次函数的中雅函数为，与平行的直线交中雅函数的图象于、两点，若轴上有且仅有一个点，使得，求的值． 【解答】解：（1）二次函数不是一次函数的中雅函数． 理由如下：， 抛物线的顶点坐标为， 当时，， 点不在直线上， 二次函数不是一次函数的中雅函数； （2）设函数与轴两个交点为，，，， ，， ， 函数与轴两个交点间的距离为4， ， ，即， ， ， 函数的顶点坐标为， 是一次函数的中雅函数， ， ， 当时，， 当时，， ①当时，直线为， 直线与轴的交点为，与轴的交点为， 直线与坐标轴所围三角形的面积为， ②当时，直线为， 直线与轴的交点为，与轴的交点为， 直线与坐标轴所围三角形的面积为， 综上，直线与坐标轴所围三角形的面积为． （3）， 函数为的顶点坐标为，， 函数为是的中雅函数， ， ， ， ， 直线可化为， 联立方程组， 解得，，， 不妨令，则， 当以为直径的圆与轴相切时，轴上有且仅有一个点，使得， 以为直径的圆的圆心到轴的距离等于时，轴上有且仅有一个点，使得，且为切点， 设的中点为点，则， 过作轴于点，则， ，即， 解得，，或（舍， 故． 4．对于函数，若存在实数，使得成立，则称为函数的不动点． （1）当，时，求的不动点； （2）若对于任何实数，函数恒有两相异的不动点，求实数的取值范围； （3）在（2）的条件下，若的图象上，两点的横坐标是函数的不动点，且直线是线段的垂直平分线，求实数的取值范围． 【解答】解：（1）当，时， 函数， 令， 化简，得 解得，，， 即的不动点是或2； （2）令， 整理，得 ， 对于任何实数，函数恒有两相异的不动点， △， 设，对于任何实数，， 故， 解得，， 即的取值范围是； （3）由题意可得， 点和点在直线上， 设点，，点，， ，两点的横坐标是函数的不动点， ，是方程的两个根， ， 线段中点坐标为，， 该中点的坐标为，， 直线是线段的垂直平分线， 点，在直线上， ，（当时取等号） ， ， 即的取值范围是． 5．在平面直角坐标系中，直线经过点，与轴交于点，与抛物线的对称轴交于点． （1）求的值； （2）求抛物线的顶点坐标； （3），是