代几综合压轴1：求值+求解析式+求坐标-2021年中考数学必刷压轴题(湖南长沙专版)

《2021年中考数学必刷压轴题(湖南长沙专版)》 代几综合压轴1：求值+求解析式+求坐标 参考答案与试题解析 1．如图，已知：在平面直角坐标系中，直线与轴相交于点其中，与轴相交于点．抛物线的顶点为，它与直线相交于点，其对称轴分别与直线和轴相交于点和点． （1）设，时，求出点、点的坐标； （2）已知是轴上一动点，在（1）的条件下，抛物线上是否存在点，使得以、、、四点为顶点的四边形为平行四边形？如果存在，求出点的坐标；如果不存在，请说明理由． （3）当以、、为顶点的三角形与相似且满足，求抛物线的函数表达式． 【解答】解：（1）①如图1， 当时，将点坐标代入，得顶点坐标为； 当时，一次函数的解析式为． 联立抛物线与直线，得， 解得，当时，，即点坐标为． 当时，，即点坐标为； ②假设存在点，使得以、、、四点为顶点的四边形是平行四边形． 设． 当四边形是平行四边形时，且． 又由，得到： 把代入抛物线得到：． 解得． 故，． 所以，存在点，，使得以、、、四点为顶点的四边形是平行四边形． （2）如图2， ， 抛物线的图象过点，， ． 的对称轴是， 点坐标为． 三角形的面积与三角形面积之比为， ． 过点作于，过点作，与交于点． 则四边形是矩形． 由，得． 由，，，得 ，． 将点横坐标代入，得． ，，又． ，． 在中，，若与相似，则是直角三角形．，，． ， ， ， ， ． ， ． 抛物线的解析式为． 2．如图，点是直线上一点，且在第一象限，点，分别是，正半轴上的点，且满足． （1）如图1，当时，求证：； （2）如图2，记， ①根据所学，不难得到　　，（用含的式子表示）； ②若，求的值； （3）如图3，若，连接，，已知抛物线经过，，三点，与直线相交于点，，连接，的面积为，求抛物线的函数表达式． 【解答】解：（1）如图1，过点作轴和轴的垂线，垂足分别为点、， 当时，直线的表达式为，则， ，， ， △， ； （2）①根据（1）知，， 故答案为； ②如图1，过点作轴和轴的垂线，垂足分别为点、， 同理可得：， ， ， 故的值为； （3）设直线交于点，连接，过点作轴于点， 在中，，， ， 同理， ， 、、、四点共圆，则是圆的直径， 故， ， ， 为等腰三角形， ，， ， ， 而， 故， ，则，， 设点，， 在中，，则，则， 在中，， 同理可得：，故点，， ，则， 故设直线的表达式为①， 设抛物线的表达式为②， 将点的坐标代入上式得：③， 联立①②并整理得：， 则，即，解得， 当时，， 则的面积④， 联立③④并解得， 故抛物线的表达式为． 3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于、两点，与轴交于点，顶点为点．点为轴上的一个动点． （1）求点的坐标； （2）如图1，当点在线段上运动时，过点作轴的垂线，分别交直线、于点、，试判断是否为定值，若是，请求出这个定值，若不是，请说明理由． （3）如图2，若点位于点的左侧，满足且时，求抛物线的解析式． 【解答】解：（1）， 点； （2）是定值，理由如下： 如图1，过点作于， ，， ， ，， ，， ， ， ， ， ； （3）如图2，作的垂直平分线，交于，交于，过点作， ，， ， ， ， ， ， ，， ， ， ，，， ， ， ， ， ， ， ， 点， 抛物线过点， ， ， 抛物线解析式为． 4．如图1，抛物线与轴交于，两点（点位于点的左侧），与轴负半轴交于点，若． （1）求抛物线的解析式； （2）如图2，是第三象限内抛物线上的动点，过点作交抛物线于点，过作轴交于点，过作轴交于点，当四边形的周长最大值时，求点的横坐标； （3）在轴下方的抛物线上是否存在一点，使得以、、、为顶点的四边形被对角线分成面积相等的两部分？如果存在，求点的坐标；如果不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）， 则，， 则， 解得：或， 抛物线与轴负半轴交于点，故舍去，则， 则抛物线的表达式为：①； （2）由得：点、、的坐标分别为：、、， 设点，，故直线的倾斜角为，， 直线的表达式为：， 则设直线的表达式为：，将点的坐标代入上式并解得： 直线的表达式为：②， 联立①②并解得：或， 故点，点、的坐标分别为：、， 则， 四边形的周长， ，故有最大值，此时， 故点的横坐标为：； （3）①当点在第三象限时， 当平分四边形面积时， 则，故点； 当平分四边形面积时， 则，， 则， 解得：，故点，； ②当点在第四象限时， 同理可得：点，； 综上，点的坐标为：或，或，． 5．如图，在平面直角坐标系中，点是坐标原点，抛物线与轴相交于、两点，与轴交于点，； （1）如图1，求抛物线的解析式； （2）如图2，点在第四象限的抛物线上，连接交轴于点，轴于点，的延长线交直线于点，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，点在上，连接、，，，求的坐标． 【解答】解：（1）设点的坐