精做06 函数与导数-备战2021年高考数学（文）大题精做

精做06函数与导数 一、导数的几何意义及应用 【例1】（2021·陕西西安市·高三月考（文））已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）设，求证：在上有唯一零点． 【详解】 （1）由题意，函数，可得，则， 又由，所以曲线在点处的切线方程为； （2）由，可得， 令，可得，即，解得， 所以当时，，当时，， 则在上单调递减，在上单调递增， 所以在上单调递增， 又因为，当时，， 所以在上有唯一零点． 导数的几何意义是切点处切线的斜率,应用时主要体现在以下几个方面： (1)已知切点A(x0,f(x0))求斜率k,即求该点处的导数值k＝f′(x0)． (2)若求过点P(x0,y0)的切线方程,可设切点为(x1,y1),由求解即可． (3)函数图象在每一点处的切线斜率的变化情况反映函数图象在相应点处的变化情况． 【对点训练1】（2021·全国高三其他模拟（文））已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程; （2）当时，函数有两个零点，求正整数的最小值. 二、函数单调性的讨论 【例2】（2021·内蒙古赤峰市·高三月考（文））设函数. （1）讨论的单调性； （2）当时，若的最小值为，证明：. 【详解】 （1）由题意函数的定义域为， ， 当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增； 当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增. （2）由（1）知， 所以， 所以， 即，对于任意恒成立，当且仅当时，等号成立， 令，则， 整理得， 所以. 1.利用导数研究函数单调性的方法： （1）确定函数的定义域；求导函数,由（或）解出相应的的范围,对应的区间为的增区间（或减区间）； （2）确定函数的定义域；求导函数,解方程,利用的根将函数的定义域分为若干个子区间,在这些子区间上讨论的正负,由符号确定在子区间上的单调性. 2.研究含参数的函数的单调性： （1）讨论函数的单调性是在函数的定义域内进行,切记不要忽略定义域的限制； （2）利用导数求函数单调性,大多数情况下归结为对含参数的不等式的解集的讨论； （3）在能够通过因式分解求出不等式对应方程解时,依据根的大小进行分类讨论； （4）在不能通过因式分解求出不等式对应方程解时,根据不等式对应方程的判别式进行分类讨论. 3.用导数求函数的单调区间或判断函数的单调性问题时应注意如下几方面： (1)在利用导数讨论函数的单调区间时,首先要确定函数的定义域； (2)不能随意将函数的2个独立的单调递增（或递减）区间写成并集形式； (3)利用导数解决含参函数的单调性问题时,一般将其转化为不等式恒成立问题,解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用. 【对点训练2】（2021·江西高三其他模拟（文））已知函数. （1）当时，求函数的单调区间； （2）若存在，使成立，求实数的取值范围. 三、函数的极值点与极值 【例3】（2021·四川成都市·高三二模（文））已知函数，其中． （Ⅰ）若存在唯一极值点，且极值为0，求的值； （Ⅱ）讨论在区间上的零点个数． 【详解】 （Ⅰ）由已知，可得． ①若，则当时，恒成立， ∴在上单调递增，与存在极值点矛盾； ②若，则由得． ∴当时，；当时，． ∴在上单调递减，在上单调递增． ∴存在唯一极小值点． ∴． ∴或． （Ⅱ）①当时，在上恒成立，∴在上单调递增． ∵，， （ⅰ）当时，； （ⅱ）当时，． ∴． ∴由零点存在性定理，知在上有1个零点； ②当时， ∵当时，；当时，， ∴在上单调递减，在上单调递增． ∴． （ⅰ）当时，，此时在上有1个零点； （ⅱ）当时，，此时在上无零点； （ⅲ）当时，，． （a）当，即时，在上有1个零点； （b）当，即时，在上有2个零点； ③当时，在上恒成立，在上单调递减． ∵，， ∴在上有1个零点， 综上，当时，在上无零点； 当或或时，在上有1个零点； 当时，在上有2个零点． 1.求函数极值的步骤： （1）求函数的定义域； （2）求导； （3）解方程,当； （4）列表,分析函数的单调性,求极值： ①如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值； ②如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值. 2.根据函数极值情况求参数的两个要领 （1）列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组,利用待定系数法求解． （2）验证：求解后验证根的合理性． 3. 求函数f(x)在[a,b]上的最大值和最小值的步骤 (1)求函数在(a,b)内的极值． (2)求函数在区间端点的函数值f(a),f(b)． (3)将函数f(x)的极值与f(a),f(b)比较,其中最大的一个为最大值,最小的一个为最小值． 4. 研究函数的极值与最值应注意： (1)求极值、最值时,要求步骤规范,含参数时,要讨论参数的大小． (2)求函数在无穷区间(或开区间)上的最值,不仅要研究其极值情况,还要研究其单调性,并通过单调性和极值情