精做06 函数与导数-备战2021年高考数学（理）大题精做

精做06函数与导数 一、导数的几何意义及应用 【例1】（2021·全国高三专题练习（理））设函数，. （1）若函数图像的一条切线与直线平行，求该切线的方程； （2）若函数与的图像在轴右边有唯一公共点，证明：. 【详解】 （1）由题意可知､的定义域均为，设切点坐标为， ∵，∴切线斜率，由平行得， 构造函数，则，令，解得， 当时，，∴在上单调递增， 当时，，∴在上单调递减， 又，，当时恒成立， ∴在上为一一对应函数，∴有唯一一个解， ∴切点的坐标为，切线斜率， ∴该切线的方程为，即； （2）由已知可得在上有唯一解， 即在上有唯一解， 令()，则， 令()，则，当时恒成立， ∴函数单调递增，又，， ∴在上存在唯一一个零点，且，， ∴当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， ∴时取极小值也是最小值， ， 又在上有唯一解， 当时，，当时，， ∴，∴. 导数的几何意义是切点处切线的斜率,应用时主要体现在以下几个方面： (1)已知切点A(x0,f(x0))求斜率k,即求该点处的导数值k＝f′(x0)． (2)若求过点P(x0,y0)的切线方程,可设切点为(x1,y1),由求解即可． (3)函数图象在每一点处的切线斜率的变化情况反映函数图象在相应点处的变化情况． 【对点训练1】（2021·全国高三月考（理））已知函数. （1）求的图象在点处的切线方程，并证明的图象上除点以外的所有点都在这条切线的上方； （2）若函数，，证明：. 二、函数单调性的讨论 【例2】（2021·安徽高三月考（理））已知函数，，. （1）讨论函数的单调性； （2）当时，不等式对任意恒成立，求实数的取值范围. 【详解】 （1）∵，，∴. ①当时，，所以在上单调递增. ②当时，令，解得. 当时，，，所以在上单调递减， 当时，，当时，，单调递增，当时，，单调递减. 综上：当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递减. （2）当时，不等式，即. 设，， 则. 设，则， 所以在上单调递增，又因为， ①当时，，所以，在上单调递增， 所以，故； ②当时，， 由（1）知，时，可得当时，， 所以， 故存在，使，即， 当时，，，单调递减； 当时，，，单调递增. 所以， 由， 所以. 因为， 由（1）知，时，可得当时，单调递减， 所以， 综上：. 1.利用导数研究函数单调性的方法： （1）确定函数的定义域；求导函数,由（或）解出相应的的范围,对应的区间为的增区间（或减区间）； （2）确定函数的定义域；求导函数,解方程,利用的根将函数的定义域分为若干个子区间,在这些子区间上讨论的正负,由符号确定在子区间上的单调性. 2.研究含参数的函数的单调性： （1）讨论函数的单调性是在函数的定义域内进行,切记不要忽略定义域的限制； （2）利用导数求函数单调性,大多数情况下归结为对含参数的不等式的解集的讨论； （3）在能够通过因式分解求出不等式对应方程解时,依据根的大小进行分类讨论； （4）在不能通过因式分解求出不等式对应方程解时,根据不等式对应方程的判别式进行分类讨论. 3.用导数求函数的单调区间或判断函数的单调性问题时应注意如下几方面： (1)在利用导数讨论函数的单调区间时,首先要确定函数的定义域； (2)不能随意将函数的2个独立的单调递增（或递减）区间写成并集形式； (3)利用导数解决含参函数的单调性问题时,一般将其转化为不等式恒成立问题,解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用. 【对点训练2】（2021·黑龙江哈尔滨三中高三二模（理））已知函数为函数的导函数． （1）求函数的单调区间﹔ （2）若存在实数，且使得，求证∶． 三、函数的极值点与极值 【例3】（2021·陕西西安市·高三月考（理））已知函数． （Ⅰ）求的极值； （Ⅱ）设求证：在上有两个零点． 【详解】 解：（Ⅰ）， ， 令得， 所以在，上，单调递增， 在上，单调递减， 所以 ． （Ⅱ）， 令， 所以， 当时，， 所以，即是函数的一个零点， 对于，， 则有两个零点，设为，则，故一正一负， 又，则在仅有1个零点， 即在仅有1个零点， 综上，在上有两个零点. 1.求函数极值的步骤： （1）求函数的定义域； （2）求导； （3）解方程,当； （4）列表,分析函数的单调性,求极值： ①如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值； ②如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值. 2.根据函数极值情况求参数的两个要领 （1）列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组,利用待定系数法求解． （2）验证：求解后验证根的合理性． 3. 求函数f(x)在[a,b]上的最大值和最小值的步骤 (1)求函数在(a,b)内的极值． (2)求函数在区间端点的函数值f(a),f(b)． (3)将函数f(x)的极值与f(a),f(