专题07 不等式的证明方法【专项训练】-2020-2021学年高二数学（理）下学期期中专项复习（人教A版选修2-3+4-4+4-5）

专题07证明不等式的方法【专项训练】-2020-2021学年高一数学下学期期中专项复习 一、单选题 1．（2019·安徽亳州市·亳州二中高二期中（文））要证 ，只要证（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 因为 故选 2．（2020·全国高三专题练习（文））若 ，Q= (a≥0)，则P，Q的大小关系是(　　) A．P＝Q B．P>Q C．P<Q D．由a的取值确定 【答案】B 【分析】 计算 ， ，比较（a+6）（a+7）和（a+5）（a+8）的大小关系，即可得出P2，Q2的大小关系，从而得出P，Q的大小关系． 【详解】 ＝2a+13+2 ， ＝2a+13+2 ， ∵（a+6）（a+7）﹣（a+5）（a+8）＝a2+13a+42﹣（a2+13a+40）＝2＞0， ∴（a+6）（a+7）＞（a+5）（a+8）， ∴ ， ∴P2＞Q2， ∴P＞Q． 故选B． 【点睛】 本题考查了不等式比较大小，考查了综合法的应用，属于基础题． 3．（2018·全国高二课时练习）设0＜a＜b，a＋b＝1，则下列不等式正确的是(　　) A．b＜2ab＜ ＜a2＋b2 B．2ab＜b＜a2＋b2＜ C．2ab＜a2＋b2＜b＜ D．2ab＜a2＋b2＜ ＜b 【答案】C 【分析】 利用基本不等式和不等式的性质即可得出． 【详解】 ∵0＜a＜b且a＋b＝1， ∴0＜a＜b＜1. ∴a2＋b2＞2ab，b＞a2＋b2，且 ＞b. 故2ab＜a2＋b2＜b＜ . 【点睛】 本题考查了基本不等式和不等式性质的运用，属于基础题． 4．（2020·长春市第二中学高二月考（理））用反证法证明命题“已知 ， ， ，则 中至少有一个不小于0”假设正确是（ ） A．假设 都不大于0 B．假设 至多有一个大于0 C．假设 都大于0 D．假设 都小于0 【答案】D 【解析】 根据用反证法证明数学命题的方法和步骤，应先假设命题的否定成立，而命题：“已知 ， ， ，则 中至少有一个不小于0”的否定为“假设 都小于0”， 故选D. 5．（2019·广西桂林市·高三一模（理））2018年9月24日，英国数学家M.F阿帝亚爵在“海德堡论坛”展示了他“证明”黎曼猜想的过程，引起数学界震动，黎曼猜想来源于一些特殊数列求和.记无穷数列 的各项的和 ，那么下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 【分析】 由 时， ，由裂项相消求和以及不等式的性质可得 ,排除 ，再由前3项的和排除 ， ，从而可得到结论. 【详解】 由 时， ， 可得 EMBED Equation.DSMT4 ， 时， ，可得 ,排除 ， 由 ，可排除 ,故选C. 【点睛】 本题主要考查裂项相消法求数列的和，以及放缩法和排除法的应用,属于中档题. 用特例代替题设所给的一般性条件，得出特殊结论，然后对各个选项进行检验，从而做出正确的判断，这种方法叫做特殊法. 若结果为定值，则可采用此法. 特殊法是“小题小做”的重要策略，排除法解答选择题是高中数学一种常见的解题思路和方法，这种方法即可以提高做题速度和效率，又能提高准确性. 6．（2020·上海高三专题练习）实数 ， ， ， 满足 ， ，那么 的最大值为（ ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 根据柯西不得式 ，直接计算结果. 【详解】 由柯西不等式 等号成立的条件是 ， 所以 的最大值是 . 故选：B 【点睛】 本题考查柯西不等式，考查计算能力，属于基础题型. 7．（2021·全国高二课时练习）用数学归纳法证明 这一不等式时，应注意 必须为（ ） A． B． ， C． ， D． ， 【答案】D 【分析】 根据题意验证 ， ， 时，不等式不成立，当 时，不等式成立，即可得出答案. 【详解】 解：当 ， ， 时，显然不等式不成立， 当 时， 不等式成立， 故用数学归纳法证明 这一不等式时，应注意 必须为 ， 故选： . 【点睛】 本题考查数学归纳法的应用，属于基础题． 8．（2019·浙江绍兴市·高二期末）用数学归纳法证明：“ EMBED Equation.DSMT4 ”，由 到 时，等式左边需要添加的项是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 写出 时，左边最后一项， 时，左边最后一项，由此即可得到结论 【详解】 解：∵ 时，左边最后一项为 ， 时，左边最后一项为 ， ∴从 到 ，等式左边需要添加的项为一项为 故选：D． 【点睛】 本题考查数学归纳法的概念，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题． 9．（2020·安徽高二月考（理））已知 ， ， 则下列结论正确的是（ ） ①若 ，则 ； ②若 ，则 ； ③若 ， ，则 ； ④若 ，则 ． A．①②③ B