2.3 反证法与放缩法-格邦高中阶段2021-2022学年高中数学选修4-5同步资源（人教A版）

高中数学 选修4-5 反证法与放缩法 测试内容：反证法与放缩法 考试时间：100分钟； 总分：100分 命题人：田思思 学习目标：1.掌握用反证法证明不等式的方法．(重点)2.了解放缩法证明不等式的原理，并会用其证明不等式．(难点、易错易混点) 初次测验 教材整理1　反证法 先假设要证的命题不成立，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)矛盾的结论，以说明假设不正确，从而证明原命题成立，我们把这种证明问题的方法称为反证法． 1.如果两个正整数之积为偶数，则这两个数(　　) A．两个都是偶数 B．一个是奇数，一个是偶数 C．至少一个是偶数 D．恰有一个是偶数 教材整理2　放缩法 证明不等式时，通过把不等式中的某些部分的值放大或缩小，简化不等式，从而达到证明的目的，我们把这种方法称为放缩法． 2.若|a－c|＜h，|b－c|＜h，则下列不等式一定成立的是(　　) A．|a－b|＜2h　　　　 B．|a－b|＞2h C．|a－b|＜h D．|a－b|＞h 题型一：利用反证法证“至多”“至少”型命题 【例1】　已知f(x)＝x2＋px＋q，求证： (1)f(1)＋f(3)－2f(2)＝2； (2)|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|中至少有一个不小于. 练1．已知实数a，b，c，d满足a＋b＝c＋d＝1，ac＋bd＞1.求证：a，b，c，d中至多有三个是非负数． 题型二：利用放缩法证明不等式 【例2】　已知an＝2n2，n∈N*，求证：对一切正整数n，有＋＋…＋＜. 练2．求证：1＋＋＋…＋＜2－(n≥2，n∈N＋)． 题型三：利用反证法证明不等式 [探究问题] 1．反证法的一般步骤是什么？ 2．反证法证题时常见数学语言的否定形式是怎样的？ 【例3】　已知△ABC的三边长a，b，c的倒数成等差数列，求证：∠B＜90°. 练3．若a3＋b3＝2，求证：a＋b≤2. 课堂小测 1．实数a，b，c不全为0的等价条件为(　　) A．a，b，c均不为0 B．a，b，c中至多有一个为0 C．a，b，c中至少有一个为0 D．a，b，c中至少有一个不为0 2．已知a＋b＋c＞0，ab＋bc＋ac＞0，abc＞0，用反证法求证a＞0，b＞0，c＞0时的假设为(　　) A．a＜0，b＜0，c＜0　 B．a≤0，b＞0，c＞0 C．a，b，c不全是正数 D．abc＜0 3．要证明＋＜2，下列证明方法中，最为合理的是(　　) A．综合法 B．放缩法 C．分析法 D．反证法 4．A＝1＋＋＋…＋与(n∈N＋)的大小关系是________． 5．若x，y都是正实数，且x＋y>2.求证：<2和<2中至少有一个成立． $ 高中数学 选修4-5 反证法与放缩法 测试内容：反证法与放缩法 考试时间：100分钟； 总分：100分 命题人：田思思 学习目标：1.掌握用反证法证明不等式的方法．(重点)2.了解放缩法证明不等式的原理，并会用其证明不等式．(难点、易错易混点) 初次测验 教材整理1　反证法 先假设要证的命题不成立，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)矛盾的结论，以说明假设不正确，从而证明原命题成立，我们把这种证明问题的方法称为反证法． 1.如果两个正整数之积为偶数，则这两个数(　　) A．两个都是偶数 B．一个是奇数，一个是偶数 C．至少一个是偶数 D．恰有一个是偶数 C　[假设这两个数都是奇数，则这两个数的积也是奇数，这与已知矛盾，所以这两个数至少有一个为偶数．] 教材整理2　放缩法 证明不等式时，通过把不等式中的某些部分的值放大或缩小，简化不等式，从而达到证明的目的，我们把这种方法称为放缩法． 2.若|a－c|＜h，|b－c|＜h，则下列不等式一定成立的是(　　) A．|a－b|＜2h　　　　 B．|a－b|＞2h C．|a－b|＜h D．|a－b|＞h A　[|a－b|＝|(a－c)－(b－c)|≤|a－c|＋|b－c|＜2h.] 题型一：利用反证法证“至多”“至少”型命题 【例1】　已知f(x)＝x2＋px＋q，求证： (1)f(1)＋f(3)－2f(2)＝2； (2)|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|中至少有一个不小于. [精彩点拨]　(1)把f(1)，f(2)，f(3)代入函数f(x)求值推算可得结论． (2)假设结论不成立，推出矛盾，得结论． [自主解答]　(1)由于f(x)＝x2＋px＋q， ∴f(1)＋f(3)－