2.3 反证法与放缩法 测试-格邦高中阶段2021-2022学年高中数学选修4-5同步资源（人教A版）

高中数学 选修4-5 反证法与放缩法 测试内容：反证法与放缩法 考试时间：100分钟； 总分：100分 命题人：田思思 [自我校对]　①作差法　②综合法　③执果索因　④放缩法　⑤间接证明 题型一：比较法证明不等式 比较法证明不等式的依据是：不等式的意义及实数大小与运算的关系．其主要步骤是：作差——恒等变形——判断差值的符号——结论．其中，变形是证明推理中的关键，变形的目的在于判断差的符号． 【例1】　设a≥b＞0，求证：3a3＋2b3≥3a2b＋2ab2. 练1．若a＝，b＝，c＝，则(　　) A．a＜b＜c　　　　　 B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．b＜a＜c 题型二：综合法、分析法证明不等式 【例2】　已知实数x，y，z不全为零，求证： ＋＋＞(x＋y＋z)． 练2．设a，b，c均为大于1的正数，且ab＝10. 求证：logac＋logbc≥4lg c. 题型三：反证法证明不等式 若直接证明难以入手时，“正难则反”，可利用反证法加以证明；若要证明不等式两边差异较大时，可考虑用放缩法进行过渡从而达到证明目的． 【例3】　若a，b，c，x，y，z均为实数，且a＝x2－2y＋，b＝y2－2z＋，c＝z2－2x＋，求证：a，b，c中至少有一个大于0. 练3.如图，已知在△ABC中，∠CAB＞90°，D是BC的中点，求证：AD＜BC. 题型四：用放缩法证明不等式 【例4】　已知a，b，c为三角形的三条边，求证：，，也可以构成一个三角形． 练4．已知|x|＜，|y|＜，|z|＜，求证：|x＋2y－3z|＜ε. 链接高考 1．若实数a，b满足＋＝，则ab的最小值为(　　) A．　　　　　　　 B．2 C．2 D．4 2．设a，b>0，a＋b＝5，则＋的最大值为________． 3．设a1，a2，a3，a4是各项为正数且公差为d(d≠0)的等差数列． (1)证明：2a1，2a2，2a3，2a4依次构成等比数列； (2)是否存在a1，d，使得a1，a，a，a依次构成等比数列？并说明理由； (3)是否存在a1，d及正整数n，k，使得a，a，a，a依次构成等比数列？并说明理由． 4．已知a>0，函数f(x)＝eaxsin x(x∈[0，＋∞))．记xn为f(x)的从小到大的第n(n∈N*)个极值点．证明： (1)数列{f(xn)}是等比数列； (2)若a≥，则对一切n∈N*，xn<|f(xn)|恒成立． $高中数学 选修4-5 反证法与放缩法 测试内容：反证法与放缩法 考试时间：100分钟； 总分：100分 命题人：田思思 [自我校对]　①作差法　②综合法　③执果索因　④放缩法　⑤间接证明 题型一：比较法证明不等式 比较法证明不等式的依据是：不等式的意义及实数大小与运算的关系．其主要步骤是：作差——恒等变形——判断差值的符号——结论．其中，变形是证明推理中的关键，变形的目的在于判断差的符号． 【例1】　设a≥b＞0，求证：3a3＋2b3≥3a2b＋2ab2. [自主解答]　3a3＋2b3－(3a2b＋2ab2) ＝3a2(a－b)＋2b2(b－a)＝(a－b)(3a2－2b2)． ∵a≥b＞0，∴a－b≥0,3a2－2b2≥2a2－2b2≥0， 从而(3a2－2b2)(a－b)≥0，故3a3＋2b3≥3a2b＋2ab2成立． 练1．若a＝，b＝，c＝，则(　　) A．a＜b＜c　　　　　 B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．b＜a＜c C　[a与b比较：a＝＝，b＝＝. ∵9＞8，∴b＞a， b与c比较：b＝＝，c＝＝. ∵35＞53，∴b＞c， a与c比较：a＝＝，c＝. ∵32＞25，a＞c，∴b＞a＞c，故选C.] 题型二：综合法、分析法证明不等式 分析法是“执果索因”，步步寻求上一步成立的充分条件，而综合法是“由因导果”逐步推导出不等式成立的必要条件，两者是对立统一的两种方法，一般来说，对于较复杂的不等式，直接用综合法往往不易入手．因此通常用分析法探索证题途径，然后用综合法加以证明，所以分析法和综合法可结合使用． 【例2】　已知实数x，y，z不全为零，求证： ＋＋＞(x＋y＋z)． [自主解答]　因为＝ ≥ ＝≥x＋， 同理可证：≥y＋，≥z＋. 由于x，y，z不全为零，故上述三式中至少有一式取不到等号， 所以三式累加得： ＋＋ ＞＋＋＝(x＋y＋z)， 所以有＋＋＞(x＋y＋z)． 练2．设a，b，c均为大于1的正数，且ab＝10. 求证：logac＋logbc≥4lg c. [证明]　由于a＞1，b＞1，故要证明logac＋logbc≥4lg c， 只要证明＋≥4lg c. 又c＞1，故lg c＞0， 所