专题06 绝对值不等式、基本不等式与柯西不等式【专项训练】-2020-2021学年高二数学（理）下学期期中专项复习（人教A版选修2-3+4-4+4-5）

专题06绝对值不等式、基本不等式与柯西不等式【专项训练】-2020-2021学年高一数学下学期期中专项复习 一、单选题 1．（2020·上海浦东新区·华师大二附中高一月考）若关于x的不等式 的解集为空集，则实数a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 利用绝对值不等式得到 ，结合题意得到 ，然后解关于 的不等式即可． 【详解】 因为 ， 当且仅当 或 时等号成立； 所以要使x的不等式 的解集为空集， 得 ， 解得： ； 故选：A. 【点睛】 方法点睛：不等式成立问题中要注意等价转化，不等式 恒成立，则 ；存在 ，使不等式 成立，则 ，不存在 ，使不等式 成立，则 ． 2．（2020·山西太原市·高三期中）不等式 的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 等价于 ，解不等式即可. 【详解】 ， ， ， 所以不等式 的解集为 . 故选：D. 3．（2021·全国高三专题练习）不等式 的解集为（ ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】 对 分 ， 与 范围的讨论，去掉原不等式左端的绝对值符号，从而易解不等式 的解集． 【详解】 解：当 时， ， 解得： ； 当 时， 恒成立， ； 当 时， ， 解得： ． 综上所述，不等式 的解集为 ． 故选A． 【点睛】 本题考查绝对值不等式的解法，去掉绝对值符号是关键，考查分类讨论思想与运算求解能力，属于中档题． 4．（2020·长春市第二中学高二月考（理））实数x、y满足 ，则 的最小值是（ ） A． B． C．3 D．4 【答案】A 【分析】 由 得 ，运用柯西不等式有 ，进而得解. 【详解】 解： 实数x、y满足 ， ， ， ， 当且仅当 时取等号， 的最小值是 . 故选：A. 【点睛】 考查柯西不等式的应用，基础题. 5．（2020·全国高一课时练习）已知 ，则 与 的大小关系为（ ） A． B． C． D． 与 的大小不确定 【答案】A 【解析】 试题分析：取两组数： 与 ，显然 是顺序和， 是乱序和，所以 ，即 ，故选 ． 考点：排序不等式． 6．（2015·上海市建平中学高一期中）设a，b∈R，下列不等式中恒成立的是（　　） A． B． C．a2+b2＞2ab D． 【答案】D 【分析】 利用基本不等式的性质即可判断，注意“一正二定三相等”的法则. 【详解】 A选项当 时不成立； B选项当 时不成立； C选项当 时不成立； D选项 = + ，令 ， 在区间 上单调递增，所以 成立，故D正确. 故选：D 【点睛】 本题考查了基本不等式的性质、“一正二定三相等”的法则，属于基础题. 7．（2018·全国高二课时练习）对于x∈ ，关于x的不等式 ＋ ≥16恒成立，则正数p的取值范围为(　　) A．(－∞，－9] B．(－9,9] C．(－∞，9] D．[9，＋∞) 【答案】D 【解析】 【分析】 + =（ + ）（sin2x+cos2x），展开利用基本不等式求出其最小值，让最小值大于等于16得到关于p的不等式，求出解集即可． 【详解】 令t＝sin2x，则cos2x＝1－t. ∵x∈ ，∴t∈(0,1)． 关于x的不等式 ＋ ≥16可化为p≥ (1－t)． 令y＝ (1－t)，则y＝17－ ≤17－2 ＝9， 当且仅当 ＝16t，即t＝ 时取等号，因此，原不等式恒成立，只需p≥9. 答案：D 【点睛】 此题是函数恒成立的问题，并考查利用基本不等式求出其最小值的方法，利用“1”的代换是关键． 8．（2020·贵州贵阳市·高三其他模拟）关于 的不等式 的解为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 由题意知 ，不等式 等价于 ，从而得到 ，求得结果. 【详解】 根据对数式有意义，可得 ， 不等式 等价于 ， 所以 ，解得 ， 故选：B. 【点睛】 关键点点睛：该题考查的是有关求不等式的解集的问题，在解题的过程中，注意到 是解题的关键. 9．（2020·黑龙江哈尔滨市·哈师大附中高二开学考试（理））若正实数 满足 ，则 的最小值为（ ） A．2 B．1 C． D．2 【答案】D 【解析】 分析：根据基本不等式的性质求出2a+b+c的最小值即可． 详解：由题得：因为a2+ac+ab+bc=2， ∴（a+b）（a+c）=2，又a，b，c均为正实数， ∴2a+b+c=（a+b）+（a+c）≥2 =2 ， 当且仅当a+b=a+c时，即b=c取等号． 故选D. 点睛：本题考查了绝对值的意义，考查基本不等式的性质，是一道基础题． 10．（2017·河南鹤壁市·淇滨高中高二月考（理））定义：分子为1且分母为正整数的分数称为单位分数，我们可以把1拆为若干个不同的单位分数之和，如： ， ，