专题06 绝对值不等式、基本不等式与柯西不等式【知识梳理】-2020-2021学年高二数学（理）下学期期中专项复习（人教A版选修2-3+4-4+4-5）

专题06 绝对值不等式、基本不等式与柯西不等式【知识梳理】 -2020-2021学年高一数学下学期期中专项复习（人教A版） 一、基本不等式：eq \r(ab)≤eq \f(a＋b,2) 1.基本不等式：eq \r(ab)≤eq \f(a＋b,2) (2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号. (3)其中eq \f(a＋b,2)称为正数a，b的算术平均数，eq \r(ab)称为正数a，b的几何平均数. 2.几个重要的不等式 (1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号. (2)ab≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2))) eq \s\up12(2)(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号. (3)eq \f(a2＋b2,2)≥eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2))) eq \s\up12(2)(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号. (4)eq \f(b,a)＋eq \f(a,b)≥2(a，b同号)，当且仅当a＝b时取等号. 3.利用基本不等式求最值 已知x≥0，y≥0，则 (1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2eq \r(p)(简记：积定和最小). (2)如果和x＋y是定值s，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是eq \f(s2,4)(简记：和定积最大). （3）基本不等式的变式ab≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2))) eq \s\up12(2)≤eq \f(a2＋b2,2)，eq \r(ab)≤eq \f(a＋b,2)≤eq \r(\f(a2＋b2,2))(a>0，b>0) 二、绝对值不等式及其应用 1.含绝对值不等式的解法 方法 解读 适合题型 1 公式法 利用公式|x|<a⇔-a<x<a(a>0)和|x|>a⇔x>a或x<-a(a>0)直接求解不等式 |f(x)|>g(x)或|f(x)|<g(x) 2 平方法 利用不等式两边平方的技巧，去掉绝对值，需保证不等式两边同正或同负 |f(x)|≥|g(x)|⇔f 2(x)≥g2(x) 3 零点分段法 含有两个或两个以上绝对值符号的不等式，可用零点分区间法脱去绝对值符号，将其转化为与之等价的不含绝对值符号的不