专题04 整体代换法-备战2021年高考数学解题方法和数学思想专练

专题04 整体代换法 【方法指导】 整体代换思想就是在研究和解决数学问题时，通过研究问题的整体形式、整体结构、整体特征，从而对问题进行整体处理的解题方法。从整体上去认识问题、思考问题，常常能化繁为简，同时又能培养学生思维的灵活性。 所谓整体化策略，就是当我们面临的是一道按常规思路进行局部处理难以奏效或计算冗繁的题目时，要适时调整视角，把问题作为一个有机整体，从整体入手，对整体结构进行全面、深刻的分析和改造，以便从整体特性的研究中，找到解决问题的途径和办法。 【例题解读】 【典例1】 （2021·辽宁铁岭市·高三一模）已知 是上的奇函数， ， ，则数列 的一个通项公式为（ ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 由 在 上为奇函数，知 ，令 ，则 ，得到 ．由此能够求出数列 的通项公式． 【详解】 由题已知 是 上的奇函数， 故 ， 代入得： ， ∴函数 关于点 对称， 令 ， 则 ， 得到 ， ∵ ， ， 倒序相加可得 ， 即 ， 故选：A． 【点睛】 思路点睛：利用函数的性质以及倒序相加法求数列的通项公式问题. 先利用函数的奇偶性得到函数的对称中心，再用换元法得到 ，最后利用倒序相加法求解数列的通项公式． 【典例2】（2021·陕西宝鸡市·高三二模（文））已知函数 ，判断下列给出的四个命题，其中错误的命题有（ ）个. ①对任意的 ，都有 ； ②将函数 的图象向右平移 个单位，得到偶函数 ； ③函数 在区间 上是减函数； ④“函数 取得最大值”的一个充分条件是“ ” A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】 根据题意，求得 的解析式，根据正弦型函数的性质，逐一分析①②③④，即可求得答案. 【详解】 由题意得 对于①：对任意的 ， ，故①正确； 对于②：将函数 的图象向右平移 个单位，可得 ，不是偶函数，故②错误； 对于③：因为 ，所以 ， 因为 在 上单调递减， 所以 在区间 上是减函数，故③正确 对于④：当 时， ， 所以 ，即函数 在 处取得最大值，充分性成立， 所以函数 取得最大值的一个充分条件是 ，故④正确. 所以错误的命题为②，共1个. 故选：B 【点睛】 解题的关键是熟练掌握正弦型函数的图象与性质、二倍角公式、辅助角公式，并灵活应用，考查分析理解，计算求值的能力，整体性的思想，属中档题. 【典例3】（2021·陕西宝鸡市·高三二模（文））已知 是等差数列，满足 ，则该数列前8项和为（ ） A．36 B．24 C．16 D．12 【答案】D 【分析】 根据等差数列的性质，可得 ，化简整理，结合等差数列前n项和公式，即可求得答案. 【详解】 由等差数列性质可得 ， 所以 ，即 ， 所以 . 故选：D 【典例4】（2021·内蒙古呼和浩特市·高三一模（理））在平面直角坐标系 中，直线 与双曲线 ( ， )交于A，B两点，F是该双曲线的焦点，且满足 ，若 的面积为 ，则双曲线的离心率为（ ） A． B． C． D．3 【答案】B 【分析】 设双曲线的左焦点为 ，则可得四边形 为矩形，由双曲线的定义和勾股定理结合三角形面积可得 ，即可求出离心率. 【详解】 不妨设F是该双曲线的右焦点，设左焦点为 ，则F， 在以AB为直径的圆上，根据双曲线和圆的对称性，圆过双曲线的左右焦点，如图，连接 ，则四边形 为矩形， 则可得 ， ， 所以 ， 又因为 ， 所以 ，得 ， 所以 . 故选：B. 【专题训练】 一、单选题 1．（2021·江西高三月考（理））已知函数 在区间 上的最大值为 ，则实数 的取值个数最多为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】 根据 ，得到 ，再由 ，分 ， ，由最大值为 求解. 【详解】 因为函数 在区间 上的最大值为 ， 所以 ，解得 ， 因为 ， 所以 ， 当 ，即 时， ， 令 ，在同一坐标系中作出图象： 令 ， 因为 ， 所以存在唯一 ，使得 ， 当 ，即 时， ，即 ， 解得 ， 所以实数 的取值个数最多为2. 故选：B 【点睛】 关键点点睛：本题关键是根据 的最大值为 ，由 ，得到 ，从而 ，才能分 ， 讨论求解. 2．（2021·全国高三专题练习）设 、 ，若关于 的不等式 在 上恒成立，则 的最小值是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 令 ，分析得出 ，分 、 两种情况讨论，可得出 ，进而可得出 ，令 ，利用导数求出函数 的最小值，即可得解. 【详解】 令 ，则 对任意的 恒成立，所以， . ①当 时， ，函数 在 上单调递增，函数 无最大值，不合乎题意； ②当 时，令 ，可得 . 当 时， ，此时函数 单调递增， 当 时， ，此时函数 单调递减， 所以， ， 即 ， ， 设 ，令