专题1.4 概率问题-2021年高考数学（文）解答题挑战满分专项训练

专题1.4 概率问题 1．从近几年的高考试题来看，频率分布直方图、茎叶图、平均数、方差是高考的热点，考查得较为全面，常常和概率、平均数等知识结合在一起，考查学生应用知识解决问题的能力． 2．与分层抽样有关问题的常见类型及解题策略 （1）求某一层的样本数或总体个数．可依据题意求出抽样比，再由某层总体个数(或样本数)确定该层的样本(或总体)数． （2）求各层的样本数．可依据题意，求出各层的抽样比，再求出各层样本数． 3．平均数与方差都是重要的数字特征，是对总体的一种简明的描述，它们所反映的情况有着重要的实际意义，平均数、中位数、众数描述其集中趋势，方差和标准差描述其波动大小． 4．频率分布直方图是用样本估计总体的一种重要方法，是高考命题的一个热点，多以选择题或填空题的形式呈现，试题难度不大，多为容易题或中档题，且主要有以下几个命题角度： （1）已知频率分布直方图中的部分数据，求其他数据．可根据频率分布直方图中的数据求出样本与整体的关系，利用频率和等于1就可求出其他数据． （2）已知频率分布直方图，求某种范围内的数据．可利用图形及某范围结合求解． （3）与概率有关的综合问题，可先求出频率，再利用古典概型等知识求解． 5．求古典概型的基本步骤：（1）算出所有基本事件的个数n．（2）求出事件A包含的所有基本事件数m．（3）代入公式，求出P(A)． 6．求复杂事件的概率通常有两种方法 （1）将所求事件转化成几个彼此互斥的事件的和事件； （2）若将一个较复杂的事件转化为几个互斥事件的和事件时，需要分类太多，而其对立面的分类较少，可考虑利用对立事件的概率公式，即“正难则反”．它常用来求“至少……”或“至多……”型事件的概率．解决与古典概型交汇命题的问题时，把相关的知识转化为事件，列举基本事件，求出基本事件和随机事件的个数，然后利用古典概型的概率计算公式进行计算． 1．某校高三名学生参加了月的模拟考试，学校为了了解高三学生的数学、外语成绩情况，利用随机数表法从中抽取名学生的成绩进行统计分析，将学生编号为、、、…． （1）若从第行第列的数开始右读，请你依次写出最先抽出的人的编号(下面是摘自随机数表的第行至第行)； （2）抽出的名学生的数学、外语成绩如表： 外语 优 良 及格 数学 优 良 及格 若数学成绩优秀率为，求、的值； （3）在外语成绩为良的学生中，已知，，求数学成绩优比良的人数少的概率． 【试题来源】备战2021年高考数学全真模拟卷（新课标Ⅱ卷） 【答案】（1）、、、、；（2），；（3）． 【分析】（1）由学生编号为、、、…，从第行第列的数开始右读，有943、949、、、、、、、、、、、…，根据编号规则确认符合要求的前5个数字即为所得． （2）根据表格数据，有，即可求m、n； （3）由题设知且，，列举法写出所有可能组合情况，以及数学成绩优比良的人数少的组合情况，求概率． 【解析】（1）根据图表数据，结合编号规则知最先抽出的人的编号依次为、、、、； （2）由，得， 因为， 所以； （3），且，， 所以满足条件的有：、、、、、、、 、、、、、、共有种，且每组出现都是等可能的， 记：“数学成绩优秀的人数比良的人数少”为事件，事件包括：、、、、、共个基本事件， 所以． 2．江西全面推进城市生活垃圾分类，在2021年底实现“零”填埋．据统计，截止2020年4月，全省11个设区市有1596个党政机关､2008个事业单位､369个公共场所､373个相关企业､51个示范片区1752个居民小区开展了垃圾分类工作，覆盖人口248．1万人．某校为了宣传垃圾分类知识，面向该校学生开展了“垃圾分类知识”网络问卷调查，每位学生仅有一次参与机会，通过抽样，得到100人的得分情况，将样本数据分成五组，并整理得到如下频率分布直方图： 已知测试成绩的中位数为75． （1）求的值，并求出测试成绩的平均数(同一组中的每个数据可用该组区间中点值代替)； （2）现用分层抽样从第四组和第五组按照比例抽选出6人进行垃圾分类知识竟答活动，再从中选出人进行一对一PK，求抽出的两人恰好来自同一组的概率． 【试题来源】江西省八所重点中学2021届高三4月联考 【答案】（1），，平均数；（2）． 【分析】（1）根据中位数对应频率分布直方图中频率为0．5的点，由此可求先得，再由所有频率和为1求得； （2）由分层抽样得第四组抽选4人，记为1､2､3､4，第五组抽选2人，记为，用列举法写出任取2人的所有可能情况，分别计数后可计