专题1.5 立体几何-2021年高考数学（文）解答题挑战满分专项训练

专题1.5 立体几何 1．高考对本部分内容的考查以能力为主，重点考查线面、面面平行与垂直关系的证明，尤其是垂直关系，考查空间几何体的体积及侧面积的求解，考查数形结合的思想，空间想象能力及运算求解能力等． 2．高考对该部分内容的考查主要有两种形式：一是利用立体几何的知识证明线面关系、面面关系；二是考查空间几何体的体积及侧面积的求解，难度中等，解题时应熟练掌握线面、面面平行与垂直的判定定理和性质定理，体积和侧面积的计算公式. 3．平行关系的证明：若要证明线面平行，一是根据线面平行的判定定理：平面外的直线平行于平面内的直线，则线面平行，二是根据面面平行的性质定理，先证明两个平面平行，那么平面内的任何一条直线与另一个平面平行；若要证明面面平行，根据判定定理：平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面，则两平面平行. 4．垂直关系的证明：若要证明线线垂直，根据线面垂直，则线线垂直；若要证明线面垂直，根据判定定理证明直线与平面内的两条相交直线垂直，则线面垂直；若要证明面面垂直，可根据判定定理，本质上是证明线面垂直. 5．体积与表面积公式： （1）柱体的体积公式：；锥体的体积公式：； 台体的体积公式：；球体的体积公式：． （2）球的表面积公式：． 棱柱、棱锥及棱台的各个面的面积之和，即为其表面积．[ 6．探索性问题的求解思路 （1）推理型探索性问题，以探究空间中直线、平面的平行与垂直关系为主，解决此类问题主要采用直接法，即利用空间平行与垂直关系的判定与性质定理进行逻辑推理，将其转化为平面图形中的线线关系进行探究，逻辑推理的思维量较大． （2）计算型探索性问题，主要是对几何体的表面积、体积或距离等问题进行有关探究．解决此类问题主要采用直接法，即利用几何体的结构特征，巧设未知量，将所探究的问题转化为建立关于所设未知量的函数或方程，依据目标函数的性质或方程解的存在性求解． 1．在如图所示的多面体中，是正方形，，，，四点共面，面． （1）求证：面； （2）若，，，求证：平面． 【试题来源】四川省遂宁等八市联考2021届高三第二次诊断考试 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析． 【分析】（1）由面面平行的判定定理得到面面，则可得结论．（2）在线段上取点，使得，利用勾股定理得到，即，又，可得平面． 【解析】（1）由是正方形，可知， 而面，所以面， 又面，，所以面面， 又面，所以面． （2）因为面，面， 面面，所以． 如图，在线段上取点，使得， 于是，而，所以是平行四边形． 所以，又， 于是，即，则． 因为是正方形，有， 而，所以平面． 2．如图，三棱锥中，底面，底面是等边三角形，，为中点， （1）试在棱上确定一点．使平面； （2）证明：平面平面； （3）求点到平面的距离 【试题来源】内蒙古赤峰市2021届高三下学期3月模拟考试 【答案】（1）中点；（2）证明见解析；（3）． 【分析】（1）取中点，由三角形中位线定理可得∥，然后由线面平行的判定定理可得平面；（2）由底面，可得，再由等腰三角形三线合一得，再由线面垂直的判定定理可得平面，再由面面垂直的判定定理可得结论；（3）利用等体积法求解即可 【解析】（1）取中点，则平面 理由：分别为中点，所以∥， 又平面，平面，平面； （2）证明：平面，平面，， ，为中点，， 又，平面，平面， 平面，平面平面； （3）设点到平面的距离为，则， 又，，， ，即点到平面的距离为. 3．已知在四棱锥中，平面为的中点． （1）求证；平面； （2）若，试在线段上确定一点，使得三棱锥的体积为 【试题来源】百校大联考2021届高三第六次大联考 【答案】（1）证明见解析；（2）点在线段上靠近点的三等分点处． 【分析】（1）设的中点，连接，，证明四边形是平行四边形．利用直线与平面平行的判定定理证明平面；（2）由体积求出底面上的高，从而就可以确定点的位置． 【解析】取的中点为，分别连接 因为为的中点，所以，且， 因为所以， 所以四边形是平行四边形，所以， 又平面平面所以平面． 因为在四边形中， 所以点在线段的垂直平分线上． 因为所以 所以的面积． 设点到平面的距离为，所以，所以 又平面所以点在线段上靠近点的三等分点处． 4．如图，在底面为菱形的四棱柱中，，，在底面内的射影为线段上一点． （1）求的长； （2）求三棱锥的体积． 【试题来源】陕西省2021届高三下学期教学质量检测（三） 【答案】（1）；（2）． 【分析】（1）由已知条件得出点在底面上的射影是的外心即可求解；（2）利用等体积法即可得出所求三棱锥的体积． 【解析】（1）因为，所以为等边三角形， 所以．又，所以， 所以点在底面上的射影是等边的外心， 所以． （2）由（1）可知底面，且底面，所以． 又，，所以， 所以． 5．如图①，在等腰三角形中，，，，满足，．将沿直线折