专题 同角三角函数的求值问题-2020-2021学年高一数学教材配套学案（人教A版必修4）

专题 同角三角函数的求值问题

题型多维探究

题型1已知正切求正弦和余弦

【例1】已知tan α＝－2，求sin α，cos α的值.

【分析】　由于已知一个角的正切值，且角α的象限不确定，因此要分类讨论.

【解】∵tan α＝－2，∴α是第二或第四象限角.

由tan α＝－2得sin α＝－2cos α.

（1）当α为第二象限角时，5cos2α＝1，

∴cos α＝－，sin α＝－2×＝.

（2）当α为第四象限角时，,5cos2α＝1，

∵cos α＞0，∴cos α＝，sin α＝－2×＝－.

综合（1）（2）知：当α为第二象限角时，

cos α＝－，sin α＝，

当α为第四象限角时，

cos α＝，sin α＝－.

【方法总结】平方关系和商数关系的应用

（1）在利用sin2α＋cos2α＝1和＝tan α这两个公式及其变形时，一般地，知道这三个函数值中的一个，就可以求出另外两个.根据三角函数线的图形我们也可以看出，知道一条线，就确定了角α的终边所在的位置.

（2）在应用平方公式时要注意，一定要看角的终边所在的象限是否给出.如果没有给出的话，要分情况讨论开方结果的正负.应用正切公式时，要看tan α是否有意义，还要看角的范围是否给出，否则求出的角α可能是一个集合.

【变式训练1】已知tan α＝2，求 .

【解】＝＝＝－.

 

题型2已知sin α± cos α的求值问题

【例2】 已知sin θ＋cos θ＝，θ∈（0，π），求sin θ，cos θ，sin θ－cos θ，tan θ，sin3θ＋cos3θ的值.

【分析】本题考查已知三角函数的关系式，求其他三角函数式的值.解题时先根据已知关系

式求出角的范围和三角函数值，进而解决问题.

【解】∵sin θ＋cos θ＝，θ∈（0，π），∴1＋2sin θ·cos θ＝，

∴2sin θ·cos θ＝－＜0.

又θ∈（0，π），sin θ＞0，∴cos θ＜0，∴θ∈.

∴sin θ－cos θ>0.

∵（sin θ－cos θ）2＝1－2sin θ·cos θ＝1＋＝，

∴sin θ－cos θ＝，

∴,

∴tan θ＝＝＝－，sin3θ＋cos3θ＝.

【方法总结】sin α±cos α求值的问题的解题策略

已知sin α±cos α求值的问题，一般利用三角恒等式，采用整体代入的方法求解.

涉及的三角恒等式有：

①（sin θ＋cos θ）2＝1＋2sin θcos θ；

②（sin θ－cos θ）2＝1－2sin θcos θ；

③（sin θ＋cos θ）2＋（sin θ－cos θ）2＝2；

④（sin θ－cos θ）2＝（sin θ＋cos θ）2－4sin θcos θ.

上述三角恒等式告诉我们，已知sin θ＋cos θ，sin θ－cos θ，sin θcos θ中的任何一个，则另两个式子的值均可求出.

【变式训练2】已知sin α＋cos α＝，则tan α＝　　　　

【解析】解法一：将sin α＋cos α＝代入sin2α＋cos2α＝1，

得3cos2α－2cos α＋2＝0，∴cos α＝，∴sin α＝，∴tan α＝.

解法二：由sin α＋cos α＝两边平方得

sin2α＋2cos2α＋2sin αcos α＝3，

即2sin2α＋cos2α－2sin αcos α＝0，

∴＝0，

整理得2tan2α－2tan α＋1＝0，

解之得tan α＝.

【答案】

 

题型3根据角α终边经过的点，求三角函数值

【例3】已知角α的终边上有一点P（1，3），则的值为（　　）

A. 1        B.－           C.－1       D.－4

【解析】根据任意角的三角函数定义，

可得sin α＝，cos α＝，tan α＝3，

∴＝＝tan α－＝－＝1.

【答案】A

【方法总结】已知角α终边上的点求三角函数值的方法

先求出点到原点的距离r,再根据三角函数定义便可确定正、余弦及正切值.

【变式训练3】已知点P落在角θ的终边上，且θ∈[0,2π)，则θ的值为(　　)

A.           B.           C.           D.

【解析】由任意角三角函数的定义，tan θ＝＝＝＝－1.

∵sinπ>0，cosπ<0，

∴点P在第四象限．∴θ＝π.

【答案D

 

题型4　根据角α终边经过的点(含参)，求三角函数值

【例4】已知角α终边上一点P(－，y)，且sin α＝y，求cos α和tan α的值．

【解】sin α＝＝y.

当y＝0时，sin α＝0，cos α＝－1，tan α＝0.

当y≠0时，由＝，解得y＝±.

当y＝时，P，r＝.

∴cos α＝－，tan α＝－.