专题 同角三角函数的求值问题-2020-2021学年高一数学教材配套学案（人教A版必修4）

专题 同角三角函数的求值问题 题型多维探究 题型1已知正切求正弦和余弦 【例1】已知tan α＝－2，求sin α，cos α的值. 【分析】　由于已知一个角的正切值，且角α的象限不确定，因此要分类讨论. 【解】∵tan α＝－2，∴α是第二或第四象限角. 由tan α＝－2得sin α＝－2cos α. （1）当α为第二象限角时，5cos2α＝1， ∴cos α＝－，sin α＝－2×＝. （2）当α为第四象限角时，,5cos2α＝1， ∵cos α＞0，∴cos α＝，sin α＝－2×＝－. 综合（1）（2）知：当α为第二象限角时， cos α＝－，sin α＝， 当α为第四象限角时， cos α＝，sin α＝－. 【方法总结】平方关系和商数关系的应用 （1）在利用sin2α＋cos2α＝1和＝tan α这两个公式及其变形时，一般地，知道这三个函数值中的一个，就可以求出另外两个.根据三角函数线的图形我们也可以看出，知道一条线，就确定了角α的终边所在的位置. （2）在应用平方公式时要注意，一定要看角的终边所在的象限是否给出.如果没有给出的话，要分情况讨论开方结果的正负.应用正切公式时，要看tan α是否有意义，还要看角的范围是否给出，否则求出的角α可能是一个集合. 【变式训练1】已知tan α＝2，求 . 【解】＝＝＝－. 题型2已知sin α± cos α的求值问题 【例2】 已知sin θ＋cos θ＝，θ∈（0，π），求sin θ，cos θ，sin θ－cos θ，tan θ，sin3θ＋cos3θ的值. 【分析】本题考查已知三角函数的关系式，求其他三角函数式的值.解题时先根据已知关系式求出角的范围和三角函数值，进而解决问题. 【解】∵sin θ＋cos θ＝，θ∈（0，π），∴1＋2sin θ·cos θ＝， ∴2sin θ·cos θ＝－＜0. 又θ∈（0，π），sin θ＞0，∴cos θ＜0，∴θ∈. ∴sin θ－cos θ>0. ∵（sin θ－cos θ）2＝1－2sin θ·cos θ＝1＋＝， ∴sin θ－cos θ＝， ∴, ∴tan θ＝＝＝－，sin3θ＋cos3θ＝. 【方法总结】sin α±cos α求值的问题的解题策略 已知sin α±cos α求值的问题，一般利用三角恒等式，采用整体代入的方法求解. 涉及的三角