1.4.3 正切函数的性质与图象（精讲精析）-2020-2021学年高一数学教材配套学案（人教A版必修4）

1.4.3正切函数的性质与图象

知识自主预习

新知初探

知识点. 正切函数的图象与性质

【思考】（1）正切函数y＝tan x的定义域是什么？

(2)诱导公式tan(π＋x)＝tan x说明了正切函数的什么性质？tan(kπ＋x)(k∈Z)与tan x的关系怎样？

 (3)诱导公式tan(－x)＝－tan x说明了正切函数的什么性质？

【答案】（1）．

（2）周期性．tan(kπ＋x)＝tan_x(k∈Z)．

（3）奇偶性．

（1）正切函数的图象

①正切函数的图象：

②正切函数的图象叫做正切曲线．

③正切函数的图象特征：

正切曲线是由被相互平行的直线x＝＋kπ，k∈Z所隔开的无穷多支曲线组成的．

(2) 正切函数的性质

 

自我测评

1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)正切函数在整个定义域上是增函数．(　　)

(2)正切函数在定义域内无最大值和最小值．(　　)

(3)正切函数的图象既是轴对称图形，也是中心对称图形．(　　)

【答案】　(1)×　(2)√　(3)×

2．函数y＝5tan(2x＋1)的最小正周期为(　　)

A.　　         B.            C．π       D．2π

【解析】T＝.

【答案】B

3．函数f(x)＝tan的单调递增区间为(　　)

A.，k∈Z

B．(kπ，(k＋1)π)，k∈Z

C.，k∈Z

D.，k∈Z

【答案】C

4. 函数y＝的定义域为------------------.

【解析】由1－tan≥0，得tan≤1，且x＋≠＋kπ（k∈Z）.

由图可得－＋kπ＜x＋≤＋kπ（k∈Z），即－＋kπ＜x≤kπ（k∈Z）.

∴函数y＝的定义域为.

【答案】

5．函数y＝tan x－1，x∈[－，]的值域为________．

【解析】y＝tan x－1在[－，]上是增函数，

则－2≤tan x－1≤－1.

【答案】[－2，－1]

 

【反馈记录】哪里不会问哪里，课堂全过关！

题型多维探究

题型1正切函数的定义域

【例1】求下列函数的定义域.

（1）y＝；（2）y＝＋lg（1－tan x）.

【解】(1)∵tan x>，又在内tan＝，且y＝tan x在内单调递增，

∴tan x>＝tan，∴<x<.

因此函数的定义域为(k∈Z)．

(2)要使函数有意义，则即0≤tan x<1.

由于在内，y＝tan x单调递增，且tan＝1，

∴0≤x<，因此，函数的定义域为.

 

【方法总结】求正切函数定义域的方法

(1)求与正切函数有关的函数的定义域时，除了求函数定义域的一般要求外，还要保证正切函数y＝tan x有意义即x≠＋kπ，k∈Z.而对于构建的三角不等式，常利用三角函数的图象求解．

(2)求正切型函数y＝Atan(ωx＋φ)(A≠0，ω＞0)的定义域时，要将“ωx＋φ”视为一个“整体”．令ωx＋φ≠kπ＋，k∈Z，解得x.　　　　　　

【变式训练1】求函数y＝的定义域．