1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质（一）（精讲精析）-2020-2021学年高一数学教材配套学案（人教A版必修4）

1.4.2正弦函数、余弦函数的性质（一）

正弦函数、余弦函数的周期性与奇偶性

知识自主预习

新知初探

知识点1. 函数的周期性

【思考】观察正弦函数和余弦函数的图象，你认为正弦函数值和余弦函数值有怎样的变化规律？

【答案】具有“周而复始”的变换规律。

 

（1）对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期．

（2）如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．

（3）记f(x)＝sin x，则由sin(2kπ＋x)＝sin x(k∈Z)，得f(x＋2kπ)＝f(x)对于每一个非零常数2kπ(k∈Z)都成立，余弦函数同理也是这样，所以正弦函数、余弦函数都是周期函数，2kπ(k∈Z且k≠0)都是它们的周期，最小正周期为2π．

知识点2. 正、余弦函数的性质

【思考】（1）正弦曲线和余弦曲线各有怎样的对称性？

（2）诱导公式sin(－x)＝－sin x，cos(－x)＝cos x，体现了正弦函数y＝sin x和余弦函数y＝cos x的什么性质？

【答案】（1）正弦曲线关于原点对称，余弦曲线关于y轴对称．

（2）正弦函数y＝sin_x为奇函数，余弦函数y＝cos_x为偶函数．

 

 

 

自我测评

1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)

（1）若T是函数ƒ(x)的周期，则kT，k∈N＋也是函数f(x)的周期．(　　)

（2）函数y＝3sin 2x是奇函数．(　　)

（3）函数y＝2cos3x是偶函数.（   ）

【答案】(1)√　(2)√　(3)√

2．已知函数f(x)＝sin(πx－)－1，则下列命题正确的是(　　)

A．f(x)是周期为1的奇函数

B．f(x)是周期为2的偶函数

C．f(x)是周期为1的非奇非偶函数

D．f(x)是周期为2的非奇非偶函数

【解析】f(x)＝sin(πx－)－1＝－cos πx－1，从而函数为偶函数，且T＝＝2.

【答案】B

3．函数y＝sinx的最小正周期为(　　)

A．2π　　　　　B．π         C．4π           D．6π

【解析】∵sin＝sin＝sinx，∴sinx的周期为4π.

【答案】C

4．函数＝1＋cos x的图象(　　)

A．关于x轴对称   B．关于y轴对称

C．关于原点对称   D．关于直线x＝对称

【解析】　y＝1＋cos x＝1＋cos(－x)，

∴y＝1＋cos x是偶函数，即该函数的图象关于y轴对称．

【答案】B

5．函数f(x)＝的奇偶性为________．

【解析】因为1＋sin x≠0，故其定义域不关于原点对称，所以f(x)为非奇非偶函数．

【答案】非奇非偶函数

【反馈记录】哪里不会问哪里，课堂全过关！

题型多维探究

题型1正、余函数的周期性

【例1】求下列三角函数的周期：

(1)y＝3sin x，x∈R；(2)y＝cos 2x，x∈R；

(3)y＝sin，x∈R；(4)y＝|cos x|，x∈R.

【解】 (1)因为3sin(x＋2π)＝3sin x，由周期函数的定义知，y＝3sin x的周期为2π.

(2)因为cos 2(x＋π)＝cos(2x＋2π)＝cos 2x，由周期函数的定义知，y＝cos 2x的周期为π.

(3)因为sin＝sin＝sin，

由周期函数的定义知，y＝sin的周期为6π.

(4)y＝|cos x|的图象如图(实线部分)所示，

由图象可知，y＝|cos x|的周期为π.