1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质（二）（精讲精析）-2020-2021学年高一数学教材配套学案（人教A版必修4）

1.4.2正弦函数、余弦函数的性质（二）

正弦函数、余弦函数的单调性与最值

知识自主预习

新知初探

知识点. 正弦函数、余弦函数的性质

【思考】正弦函数在上函数值的变化有什么特点？余弦函数在[0，2π]上函数值的变化有什么特点？

【答案】y＝sin x在上，曲线逐渐上升，是增函数，函数值y由－1增大到1；在上，曲线逐渐下降，是减函数，函数值y由1减小到－1.

y＝cos x在[0，π]上，曲线逐渐下降，是减函数，函数值由1减小到－1，在[π，2π]上，曲线逐渐上升，是增函数，函数值由－1增大到1．

 

 

自我测评

1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)在区间[0,2π]上，函数y＝cos x仅当x＝0时取得最大值1.(　　)

(2)在区间[-，]上，函数y=sinx仅当x=时取得最大值1.(  )

(3)函数y=1+sin2x在[-+2k，+2k](k∈Z)上单调递增. (  )

【答案】 (1)×(2) √(3) ×

2．函数f(x)＝－2sin x＋1，x∈的值域是(　　)

A．[1，3]　　　　　　　　　 B．[－1，3]

C．[－3，1]  D．[－1，1]

【解析】　∵x∈，∴sin x∈[－1，1]，

∴－2sin x＋1∈[－1，3]．

【答案】　B

3．函数y＝|sin x|的一个单调递增区间是(　　)

A.  B.

C.  D.

【解析】　由y＝|sin x|的图象，易得函数y＝|sin x|的单调递增区间为，k∈Z，当k＝1时，得为函数y＝|sin x|的一个单调递增区间．

【答案】　C

5．函数y＝3＋2cos x的最大值为________．

【答案】5

 

【反馈记录】哪里不会问哪里，课堂全过关！

题型多维探究

题型1正、余弦函数的单调性

角度1求函数的单调区间

【例1】求函数y＝2sin的单调区间．

【解】令z＝x－，则y＝2sin z.

∵z＝x－是增函数，

∴y＝2sin z单调递增(减)时，函数y＝2sin也单调递增(减)．

由z∈(k∈Z)，

得x－∈(k∈Z)，

即x∈(k∈Z)，

故函数y＝2sin的单调递增区间为Error!(k∈Z)．

同理可求函数y＝2sin的单调递减区间为Error!(k∈Z)．

【方法总结】与正弦函数有关的单调区间的求解策略

(1)结合正弦函数的图象，熟记其单调区间．

(2)确定函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)单调区间的方法：采用“换元”法整体代换，将ωx＋φ看作一个整体，可令“z＝ωx＋φ”，即通过求y＝Asin z的单调区间而求出函数的单调区间．若ω<0，则可利用诱导公式将x的系数转变为正数．　

【变式训练1】求函数y＝3sin的单调递减区间．