1.2.2 同角三角函数的基本关系（精讲精析）-2020-2021学年高一数学教材配套学案（人教A版必修4）

1.2.2同角三角函数的基本关系

知识自主预习

新知初探

 

知识点.同角三角函数的基本关系式

【思考】若P为单位圆上任一点,坐标为(x，y)，则sin α，cos α各为何值？x与y有什么关系？

【答案】sinα＝y，cosα＝x， x2＋y2＝1．

 

(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1.

(2)商数关系：tan_α＝.

这就是说，同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1，商等于角α的正切.

自我测评

1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)对任意角α，sin2＋cos2＝1都成立．(　　)

(2)对任意角α，＝tan 2α都成立．(　　)

(3)若cos α＝0，则sin α＝1.(　　)

【答案】(1)√　(2)×　(3)×

2．若sin α＝－，且α为第四象限角，则tan α的值等于（　　）

　　　　　　　　　　　　　　　　　　

A.      B. －          C.          D. －

【答案】D

 

3．化简：(1＋tan2α)·cos2α等于(　　)

A．－1    B．0         C．1    D．2

【解析】原式＝·cos2α＝cos2α＋sin2α＝1.

【答案】C

4．已知sin α＝，则sin4α－cos4α的值为(　　)

A．－        B．－         C.          D.

【解析】sin4α－cos4α＝(sin2α＋cos2α)(sin2α－cos2α)

＝sin2α－(1－sin2α)＝2sin2α－1＝2×2－1＝－.

【答案】A

 

5．已知sin α＝，α∈，则tan α＝________.

【答案】－

【反馈记录】哪里不会问哪里，课堂全过关！

题型多维探究

题型1利用同角基本关系式求值

【例1】(1) 已知α是第二象限角，cos α＝－，求3sin α＋tan α；

(2)已知sin α＋2cos α＝0，求2sin αcos α－cos2α的值．

【解】(1) 因为cos  α＝－，α是第二象限角，所以sin α＝＝＝.

所以tan α＝＝＝－2.

所以3sin α＋tan α＝3×－2＝0.

 (2)由sin α＋2cos α＝0，得tan α＝－2.

所以2sin αcos α－cos2α＝＝＝＝－1.

【方法总结】1．求三角函数值的方法

(1)已知sin θ(或cos θ)求tan θ常用以下方式求解

(2)已知tan θ求sin θ(或cos θ)常用以下方式求解

 

当角θ的范围不确定且涉及开方时，常因三角函数值的符号问题而对角θ分区间(象限)讨论．

2．已知角α的正切求关于sin α，cos α的齐次式的方法

(1)关于sin α，cos α的齐次式就是式子中的每一项都是关于sin α，cos α的式子且它们的次数之和相同，设为n次，将分子、分母同除以cos α的n次幂，其式子可化为关于tan α的式子，再代入求值．

(2)若无分母时，把分母看作1，并将1用sin2α＋cos2α来代换，将分子、分母同除以cos2α，可化为关于tan α的式子，再代入求值．

【变式训练1】　(1)已知cos α＝－，求sin α和tan α.

(2)已知tan α＝2，试求的值．

【解】(1)sin2α＝1－cos2α＝1－2＝2，

因为cos α＝－<0，所以α是第二或第三象限角，

当α是第二象限角时，sin α＝，tan α＝＝－；

当α是第三象限角时，sin α＝－，tan α＝＝.

(2)由tan α＝2可得sin α＝2cos α，

故＝＝＝.