热点专题19 抽象函数、函数（压轴题热点1）-备战2021年高考数学二轮复习热点考题精华篇（上海专用）

热点专题19 抽象函数、函数（压轴题热点1） 一、解答题 1．（2019·上海市建平中学高三月考）已知函数． （1）若满足为R上奇函数且为R上偶函数，求的值； （2）若函数满足对恒成立，函数，求证：函数是周期函数，并写出的一个正周期； （3）对于函数，，若对恒成立，则称函数是“广义周期函数”， 是其一个广义周期，若二次函数的广义周期为（不恒成立），试利用广义周期函数定义证明：对任意的，，成立的充要条件是． 2．（2020·上海闵行区·高三一模）大数据时代对于数据分析能力的要求越来越高，数据拟合是一种把现有数据通过数学方法来代入某种算式的表示方式.比如是平面直角坐标系上的一系列点，其中是不小于的正整数，用函数来拟合该组数据，尽可能使得函数图像与点列比较接近.其中一种衡量接近程度的指标是函数的拟合误差，拟合误差越小越好，定义函数的拟合误差为：.已知在平面直角坐标系上，有5个点的坐标数据如下表所示： （1）若用函数来拟合上述表格中的数据，求； （2）若用函数来拟合上述表格中的数据. ①求该函数的拟合误差的最小值，并求出此时的函数解析式； ②指出用中的哪一个函数来拟合上述表格中的数据更好？ 3．（2018·上海浦东新区·华师大二附中高三月考）已知、是定义在实数集上的实值函数，如果存在，使得对任何，都有，那么称比高兴，如果对任何，都存在，使得，那么称比幸运，对于实数和上述函数，定义. （1）①，，判断是否比高兴？ ②，，判断是否比幸运？ （2）判断下列命题是否正确？并说明理由： ①如果比高兴，比高兴，那么比高兴； ②如果比幸运，比幸运，那么比幸运； （3）证明：对每个函数，均存在函数，使得对任何实数，都比幸运，也比幸运. 4．（2019·上海浦东新区·高三月考）若存在常数，使得对任意，，均有，则称为有界集合，同时称为集合的上界. (1)设，，试判断是否为有界集合，并说明理由； (2)已知常数，若函数为有界集合，求集合的上界最小值. (3)已知函数，记，，，，求使得集合为有界集合时的取值范围. 5．（2020·上海高三专题练习）设函数的定义域为.若存在实数使得，均对任意成立，则称为“型—函数”. （1）若是“型—函数”，求的值； （2）若是“型—函数”，求证：函数是周期函数； （3）若是“型—函数”，且在上单调递增，求证：存在正实数、，使得对任意成立. 6．（2019·上海市七宝中学高三月考）设集合表示具有下列性质的函数的集合：①的定义域为；②对任意，都有 （1）若函数，证明是奇函数；并当，，求，的值； （2）设函数（a为常数）是奇函数，判断是否属于，并说明理由； （3）在（2）的条件下，若，讨论函数的零点个数. 7．（2020·上海松江区·）已知函数的定义域为D，若存在实常数及，对任意，当且时，都有成立，则称函数具有性质. （1）判断函数是否具有性质，并说明理由； （2）若函数具有性质，求及应满足的条件； （3）已知函数不存在零点，当时具有性质（其中，），记，求证:数列为等比数列的充要条件是或. 8．（2020·上海浦东新区·华师大二附中高三月考）对于函数，若存在实数，使得为上的奇函数，则称是位差值为的“位差奇函数”. （1）判断函数和是否为位差奇函数？说明理由； （2）若是位差值为的位差奇函数，求的值； （3）若对任意属于区间中的都不是位差奇函数，求实数、满足的条件. 9．（2020·宝山区·上海交大附中高三其他模拟）已知是定义在上的函数，满足：①对任意，均有；②对任意，均有.数列满足：，，. （1）若函数，求实数的取值范围； （2）若函数在上单调递减，求证：对任意正实数，均存在，使得时，均有； （3）求证：“函数在上单调递增”是“存在，使得”的充分非必要条件. 10．（2020·上海高三专题练习）设表示不小于的最小整数，例如． （1）解方程； （2）设，，试分别求出在区间、以及上的值域；若在区间上的值域为，求集合中的元素的个数； （3）设实数，，，若对于任意都有，求实数的取值范围． 11．（2016·长宁区·上海市延安中学高三期中）如果函数的定义域为，对于定义域内的任意，存在实数使得成立，则称此函数具有“性质”； （1）判断函数是否具有“性质”，若具有“性质”，试写出所有的值；若不具有“性质”，请说明理由； （2）已知具有“性质”，当时，，，求在上的最大值； （3）设函数具有“性质”，且当时，，求：当时，函数的解析式，若与交点个数为1001个，求的值； 12．（2019·上海市建平中学高三月考）若定义在上的函数满足：对于任意实数、，总有恒成立.我们称为“类余弦型”函数. （1）已知为“类余弦型”函数，且，求和的值. （2）在（1）的条件下，定义数列求的值. （3）若为“类余弦型”