专题13圆与函数相似三角函数综合问题-决胜2021年中考数学压轴题全揭秘精品（浙江专用）

决胜2021年中考数学压轴题全揭秘（浙江专用） 专题13圆与函数相似三角函数综合问题 【考点1】圆与相似有关计算问题 【例1】（2020•宁波模拟）如图，△ABC内接于⊙O，且AB＝AC．直径AD交BC于点E，F是AE的中点，连接CF，若AD＝6．则CF的最大值为（　　） A．6 B．5 C．4 D．3 【分析】设AF＝EF＝x，则AE＝2x，根据垂径定理得到BC⊥AD，∠ABD＝90°，根据相似三角形的性质得到CE2＝2x（6x），根据勾股定理和二次函数的性质即可得到结论． 【解析】∵F是AE的中点， ∴设AF＝EF＝x，则AE＝2x， ∴DE＝62x， ∵AB＝AC， ∴， ∵AD为⊙O的直径， ∴BC⊥AD，∠ABD＝90° ∴BE＝CE，∠ABE+∠DBE＝∠DBE+∠D＝90°， ∴∠ABE＝∠D， ∵∠AEB＝∠DEB＝90°， ∴△ABE∽△BDE， ∴， ∴BE2＝AE•DE＝2x（62x）， ∴CE2＝2x（62x）， 在Rt△CEF中，CF2＝EF2+CE2＝x2+2x（62x）＝﹣3（x﹣2）2+36， ∴当x＝2时，CF的最大值为6， 故选：A． 【变式1-1】（2019•宁波）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，点D在边BC上，CD＝5，BD＝13．点P是线段AD上一动点，当半径为6的⊙P与△ABC的一边相切时，AP的长为 ． 【分析】根据勾股定理得到AB6，AD13，当⊙P于BC相切时，点P到BC的距离＝6，过P作PH⊥BC于H，则PH＝6，当⊙P于AB相切时，点P到AB的距离＝6，根据相似三角形的性质即可得到结论． 【解析】∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BD+CD＝18， ∴AB6， 在Rt△ADC中，∠C＝90°，AC＝12，CD＝5， ∴AD13， 当⊙P于BC相切时，点P到BC的距离＝6， 过P作PH⊥BC于H， 则PH＝6， ∵∠C＝90°， ∴AC⊥BC， ∴PH∥AC， ∴△DPH∽△DAC， ∴， ∴， ∴PD＝6.5， ∴AP＝6.5； 当⊙P于AB相切时，点P到AB的距离＝6， 过P作PG⊥AB于G， 则PG＝6， ∵AD＝BD＝13， ∴∠PAG＝∠B， ∵∠AGP＝∠C＝90°， ∴△AGP∽△BCA， ∴， ∴， ∴AP＝3， ∵CD＝5＜6， ∴半径为6的⊙P不与△ABC的AC边相切， 综上所述，AP的长为6.5或3， 故答案为：6.5或3． 点评：本题考查了切线的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，熟练正确切线的性质是解题的关键． 【变式1-2】（2019•温州）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，点E在BC边上，且CA＝CE，过A，C，E三点的⊙O交AB于另一点F，作直径AD，连结DE并延长交AB于点G，连结CD，CF． （1）求证：四边形DCFG是平行四边形． （2）当BE＝4，CDAB时，求⊙O的直径长． 【分析】（1）连接AE，由∠BAC＝90°，得到CF是⊙O的直径，根据圆周角定理得到∠AED＝90°，即GD⊥AE，推出CF∥DG，推出AB∥CD，于是得到结论； （2）设CD＝3x，AB＝8x，得到CD＝FG＝3x，于是得到AF＝CD＝3x，求得BG＝8x﹣3x﹣3x＝2x，求得BC＝6+4＝10，根据勾股定理得到AB8＝8x，求得x＝1，在Rt△ACF中，根据勾股定理即可得到结论． 【解答】（1）证明：连接AE， ∵∠BAC＝90°， ∴CF是⊙O的直径， ∵AC＝EC， ∴CF⊥AE， ∵AD是⊙O的直径， ∴∠AED＝90°， 即GD⊥AE， ∴CF∥DG， ∵AD是⊙O的直径， ∴∠ACD＝90°， ∴∠ACD+∠BAC＝180°， ∴AB∥CD， ∴四边形DCFG是平行四边形； （2）解：由CDAB， 设CD＝3x，AB＝8x， ∴CD＝FG＝3x， ∵∠AOF＝∠COD， ∴AF＝CD＝3x， ∴BG＝8x﹣3x﹣3x＝2x， ∵GE∥CF， ∴， ∵BE＝4， ∴AC＝CE＝6， ∴BC＝6+4＝10， ∴AB8＝8x， ∴x＝1， 在Rt△ACF中，AF＝3，AC＝6， ∴CF3， 即⊙O的直径长为3． 点评：本题考查了三角形的外接圆与外心，平行四边形的判定和性质，勾股定理，圆周角定理，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键． 【考点2】圆与三角函数有关综合问题 【例2】（2020•温州）如图，C，D为⊙O上两点，且在直径AB两侧，连接CD交AB于点E，G是上一点，∠ADC＝∠G． （1）求证：∠1＝∠2． （2）点C关于DG的对称点为F，连接CF．当点F落在直径AB上时，CF＝10，tan∠1，求⊙O的半径． 【分析】（1）根据圆周角定理和AB为⊙O的直径，