专题18图形变换综合问题-决胜2021年中考数学压轴题全揭秘精品（江苏专用）

决胜 2021年中考数学压轴题全揭秘（江苏专用） 专题18图形变换综合问题 【例1】（2020•南通）矩形ABCD中，AB＝8，AD＝12．将矩形折叠，使点A落在点P处，折痕为DE． （1）如图①，若点P恰好在边BC上，连接AP，求的值； （2）如图②，若E是AB的中点，EP的延长线交BC于点F，求BF的长． 【分析】（1）如图①中，取DE的中点M，连接PM．证明△POM∽△DCP，利用相似三角形的性质求解即可． （2）如图②中，过点P作GH∥BC交AB于G，交CD于H．设EG＝x，则BG＝4﹣x．证明△EGP∽△PHD，推出，推出PG＝2EG＝3x，DH＝AG＝4+x，在Rt△PHD中，由PH2+DH2＝PD2，可得（3x）2+（4+x）2＝122，求出x，再证明△EGP∽△EBF，利用相似三角形的性质求解即可． 【解析】（1）如图①中，取DE的中点M，连接PM． ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠BAD＝∠C＝90°， 由翻折可知，AO＝OP，AP⊥DE，∠2＝∠3，∠DAE＝∠DPE＝90°， 在Rt△EPD中，∵EM＝MD， ∴PM＝EM＝DM， ∴∠3＝∠MPD， ∴∠1＝∠3+∠MPD＝2∠3， ∵∠ADP＝2∠3， ∴∠1＝∠ADP， ∵AD∥BC， ∴∠ADP＝∠DPC， ∴∠1＝∠DPC， ∵∠MOP＝∠C＝90°， ∴△POM∽△DCP， ∴， ∴． 解法二：证明△ABP和△DAE相似，． （2）如图②中，过点P作GH∥BC交AB于G，交CD于H．则四边形AGHD是矩形，设EG＝x，则BG＝4﹣x ∵∠A＝∠EPD＝90°，∠EGP＝∠DHP＝90°， ∴∠EPG+∠DPH＝90°，∠DPH+∠PDH＝90°， ∴∠EPG＝∠PDH， ∴△EGP∽△PHD， ∴， ∴PH＝3EG＝3x，DH＝AG＝4+x， 在Rt△PHD中，∵PH2+DH2＝PD2， ∴（3x）2+（4+x）2＝122， 解得x（负值已经舍弃）， ∴BG＝4， 在Rt△EGP中，GP， ∵GH∥BC， ∴△EGP∽△EBF， ∴， ∴， ∴BF＝3． 【例2】（2020•无锡）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，点E为边CD上的一点（与C、D不重合），四边形ABCE关于直线AE的对称图形为四边形ANME，延长ME交AB于点P，记四边形PADE的面积为S． （1）若DE，求S的值； （2）设DE＝x，求S关于x的函数表达式． 【分析】（1）根据三角函数的定义得到∠AED＝60°，根据平行线的性质得到∠BAE＝60°，根据折叠的性质得到∠AEC＝∠AEM，推出△APE为等边三角形，于是得到结论； （2）过E作EF⊥AB于F，由（1）可知，∠AEP＝∠AED＝∠PAE，求得AP＝PE，设AP＝PE＝a，AF＝ED＝x，则PF＝a﹣x，EF＝AD＝1，根据勾股定理列方程得到a，于是得到结论． 【解析】（1）∵在矩形ABCD中，∠D＝90°，AD＝1，DE， ∴AE， ∴tan∠AED， ∴∠AED＝60°， ∵AB∥CD， ∴∠BAE＝60°， ∵四边形ABCE关于直线AE的对称图形为四边形ANME， ∴∠AEC＝∠AEM， ∵∠PEC＝∠DEM， ∴∠AEP＝∠AED＝60°， ∴△APE为等边三角形， ∴S（）×1； （2）过E作EF⊥AB于F， 由（1）可知，∠AEP＝∠AED＝∠PAE， ∴AP＝PE， 设AP＝PE＝a，AF＝ED＝x， 则PF＝a﹣x，EF＝AD＝1， 在Rt△PEF中，（a﹣x）2+1＝a2，解得：a， ∴S． 【例3】（2020•苏州）问题1：如图①，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，P是BC上一点，PA＝PD，∠APD＝90°．求证：AB+CD＝BC． 问题2：如图②，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝45°，P是BC上一点，PA＝PD，∠APD＝90°．求的值． 【分析】（1）由“AAS”可知△BAP≌△CPD，可得BP＝CD，AB＝PC，可得结论； （2）过点A作AE⊥BC于E，过点D作DF⊥BC于F，由（1）可知EF＝AE+DF，由等腰直角三角形的性质可得BE＝AE，CF＝DF，ABAE，CDDF，即可求解． 【解析】证明：（1）∵∠B＝∠APD＝90°， ∴∠BAP+∠APB＝90°，∠APB+∠DPC＝90°， ∴∠BAP＝∠DPC， 又PA＝PD，∠B＝∠C＝90°， ∴△BAP≌△CPD（AAS）， ∴BP＝CD，AB＝PC， ∴BC＝BP+PC＝AB+CD； （2）如图2，过点A作AE⊥BC于E，过点D作DF⊥BC于F， 由（1）可知，EF＝AE+DF， ∵∠B＝∠C＝45°，AE⊥BC，DF⊥BC， ∴∠B＝∠BAE＝45°，∠C＝∠CDF＝4