专题18图形变换综合问题-决胜2021年中考数学压轴题全揭秘精品（山东专用）

决胜 2021年中考数学压轴题全揭秘（山东专用） 专题18图形变换综合问题 【例1】（2020•东营）如图1，在等腰三角形ABC中，∠A＝120°，AB＝AC，点D、E分别在边AB、AC上，AD＝AE，连接BE，点M、N、P分别为DE、BE、BC的中点． （1）观察猜想． 图1中，线段NM、NP的数量关系是　NM＝NP　，∠MNP的大小为　60°　． （2）探究证明 把△ADE绕点A顺时针方向旋转到如图2所示的位置，连接MP、BD、CE，判断△MNP的形状，并说明理由； （3）拓展延伸 把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD＝1，AB＝3，请求出△MNP面积的最大值． 【分析】（1）先证明由AB＝AC，AD＝AE，得BD＝CE，再由三角形的中位线定理得NM与NP的数量关系，由平行线性质得∠MNP的大小； （2）先证明△ABD≌△ACE得BD＝CE，再由三角形的中位线定理得NM＝NP，由平行线性质得∠MNP＝60°，再根据等边三角形的判定定理得结论； （3）由BD≤AB+AD，得MN≤2，再由等边三角形的面积公式得△MNP的面积关于MN的函数关系式，再由函数性质求得最大值便可． 【解析】（1）∵AB＝AC，AD＝AE， ∴BD＝CE， ∵点M、N、P分别为DE、BE、BC的中点， ∴MNBD，PNCE，MN∥AB，PN∥AC， ∴MN＝PN，∠ENM＝∠EBA，∠ENP＝∠AEB， ∴∠MNE+∠ENP＝∠ABE+∠AEB， ∵∠ABE+∠AEB＝180°﹣∠BAE＝60°， ∴∠MNP＝60°， 故答案为：NM＝NP；60°； （2）△MNP是等边三角形． 理由 如下：由旋转可得，∠BAD＝∠CAE， 又∵AB＝AC，AD＝AE， ∴△ABD≌△ACE（SAS）， ∴BD＝CE，∠ABD＝∠ACE， ∵点M、N、P分别为DE、BE、BC的中点． ∴MNBD，PNCE，MN∥BD，PN∥CE， ∴MN＝PN，∠ENM＝∠EBD，∠BPN＝∠BCE， ∴∠ENP＝∠NBP+∠NPB＝∠NBP+∠ECB， ∵∠EBD＝∠ABD+∠ABE＝∠ACE+∠ABE， ∴∠MNP＝∠MNE+∠ENP＝∠ACE+∠ABE+∠EBC+∠EBC+∠ECB＝180°﹣∠BAC＝60°， ∴△MNP是等边三角形； （3）根据题意得，BD≤AB+AD，即BD≤4， ∴MN≤2， ∴△MNP的面积， ∴△MNP的面积的最大值为． 【例2】（2020•潍坊）如图1，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC1，点D，E分别在边AB，AC上，且AD＝AE＝1，连接DE．现将△ADE绕点A顺时针方向旋转，旋转角为α（0°＜α＜360°），如图2，连接CE，BD，CD． （1）当0°＜α＜180°时，求证：CE＝BD； （2）如图3，当α＝90°时，延长CE交BD于点F，求证：CF垂直平分BD； （3）在旋转过程中，求△BCD的面积的最大值，并写出此时旋转角α的度数． 【分析】（1）利用“SAS”证得△ACE≌△ABD即可得到结论； （2）利用“SAS”证得△ACE≌△ABD，推出∠ACE＝∠ABD，计算得出CD＝BC，利用等腰三角形“三线合一”的性质即可得到结论； （3）观察图形，当点D在线段BC的垂直平分线上时，△BCD的面积取得最大值，利用等腰直角三角形的性质结合三角形面积公式即可求解． 【解析】（1）证明：如图2中，根据题意：AB＝AC，AD＝AE，∠CAB＝∠EAD＝90°， ∵∠CAE+∠BAE＝∠BAD+∠BAE＝90°， ∴∠CAE＝∠BAD， 在△ACE和△ABD中， ， ∴△ACE≌△ABD（SAS）， ∴CE＝BD； （2）证明：如图3中，根据题意：AB＝AC，AD＝AE，∠CAB＝∠EAD＝90°， 在△ACE和△ABD中， ， ∴△ACE≌△ABD（SAS）， ∴∠ACE＝∠ABD， ∵∠ACE+∠AEC＝90°，且∠AEC＝∠FEB， ∴∠ABD+∠FEB＝90°， ∴∠EFB＝90°， ∴CF⊥BD， ∵AB＝AC，AD＝AE＝1，∠CAB＝∠EAD＝90°， ∴BCAB，CD＝AC+AD， ∴BC＝CD， ∵CF⊥BD， ∴CF是线段BD的垂直平分线； （3）解：△BCD中，边BC的长是定值，则BC边上的高取最大值时△BCD的面积有最大值， ∴当点D在线段BC的垂直平分线上时，△BCD的面积取得最大值，如图4中： ∵AB＝AC，AD＝AE＝1，∠CAB＝∠EAD＝90°，DG⊥BC于G， ∴AGBC，∠GAB＝45°， ∴DG＝AG+AD，∠DAB＝180°﹣45°＝135°， ∴△BCD的面积的最大值为：， 旋转角α＝135°． 【例3】（2020•菏泽）如图1，四边形ABCD的对角线AC