第一章 §3 反证法-2020-2021学年高中数学选修2-2【导学教程】同步辅导（北师大版）课件PPT

第一章 推理与证明 |数学|选修2-2 (BSD) 菜 单 §3　反证法 第一章 推理与证明 |数学|选修2-2 (BSD) 菜 单 [课标要求] 1.了解反证法的逻辑思维过程及逻辑思维方法.(难点) 2.能用反证法证明一些数学问题.(重点、易错点) 第一章 推理与证明 |数学|选修2-2 (BSD) 菜 单 反证法 [要点梳理] 在证明数学命题时，先___________________成立，在这个前提下，若推出的结果与_____、_____、_____相矛盾，或与命题中的_________相矛盾，或与___________相矛盾，从而说明__________________不可能成立，由此断定___________成立，这种证明方法叫作反证法. 假定命题结论的反面 定义 公理 定理 已知条件 假定 命题结论的反面 命题的结论 课前预习案·素养养成 第一章 推理与证明 |数学|选修2-2 (BSD) 菜 单 [名师解惑] 对反证法的理解 (1)反证法的原理：“否定之否定等于肯定”，即在同一讨论过程中，A和非A有且只有一个是对的. (2)用反证法解题的实质就是否定结论导出矛盾，从而证明原结论正确.否定结论：对结论的反面要一一否定，不能遗漏；否定一个反面的反证法称为归谬法，否定两个或两个以上反面的反证法称为穷举法. 第一章 推理与证明 |数学|选修2-2 (BSD) 菜 单 (3)要注意用反证法解题时，“否定结论”在推理论证中作为已知使用，导出矛盾是指在假设的前提下，逻辑推理结果与“已知条件、假设、公理、定理或显然成立的事实”等相矛盾. 第一章 推理与证明 |数学|选修2-2 (BSD) 菜 单 [即时应用] 1.关于反证法的说法正确的有 ①反证法的应用需要逆向思维； ②反证法是一种间接证明方法，否定结论时，一定要全面否定； ③反证法推出的矛盾不能与已知相矛盾； ④使用反证法必须先否定结论，当结论的反面出现多种可能时，论证一种即可. A.①②　　　　　　　　　 B.①③ C.②③ D.③④ 解析　①②正确，故选A. 答案　A 第一章 推理与证明 |数学|选修2-2 (BSD) 菜 单 2.用反证法证明命题“已知a，b为实数，则方程x2＋ax＋b＝0至少有一个实根”时，要作的假设是 A.方程x2＋ax＋b＝0没有实根 B.方程x2＋ax＋b＝0至多有一个实根 C.方程x2＋ax＋b＝0至多有两个实根 D.方程x2＋ax＋b＝0恰好有两个实根 解析　“方程x2＋ax＋b＝0至少有一个实根”的反面是“方程x2＋ax＋b＝0没有实根.” 答案　A 第一章 推理与证明 |数学|选修2-2 (BSD) 菜 单 [思路导引]　由平行直线的定义可知过直线外一点至少可以作一条已知直线的平行线.而“只有一条”可通过假设过点A有两条直线与直线a平行，由平行公理推出与假设矛盾. 课堂探究案·素养提升 题型一　用反证法证明唯一性命题 　用反证法证明：过已知直线a外一点A有且只有一条直线b与已知直线a平行. 第一章 推理与证明 |数学|选修2-2 (BSD) 菜 单 [自主解答]　由两条直线平行的定义和几何图形可知，过点A至少有一条直线与直线a平行.假设过点A还有一条直线b′与已知直线a平行，即b∩b′＝A，b′∥a.因为b∥a，由平行公理知b′∥b.这与假设b∩b′＝A矛盾，所以假设错误，原命题成立. 第一章 推理与证明 |数学|选修2-2 (BSD) 菜 单 [方法技巧] 用反证法证明唯一性命题的一般思路 证明“有且只有一个”的问题，需要证明两个命题，即存在性和唯一性.当证明结论以“有且只有”“只有一个”“唯一存在”等形式出现的命题时，由于假设结论易导出矛盾，所以用反证法证其唯一性比较简单明了. 第一章 推理与证明 |数学|选修2-2 (BSD) 菜 单 1.求证：函数f(x)＝2x＋1有且只有一个零点. 证明　(1)存在性：因为2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＋1＝0， 所以－eq \f(1,2)为函数f(x)＝2x＋1的零点. 所以函数f(x)＝2x＋1至少存在一个零点. 第一章 推理与证明 |数学|选修2-2 (BSD) 菜 单 (2)唯一性：假设函数f(x)＝2x＋1除－eq \f(1,2)外还有零点 x0(x0≠－eq \f(1,2))，则feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝f(x0)＝0. 即2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2