1.3反证法 线上课程课件-北师大版高中数学选修2-2

3.1 反证法 北师大版高中数学选修2—2 第一章 推理与证明 在上一节，我们学习两种证明方法：综合法，其特点是由因导果；分析法，其特点是执果索因. 温故知新 耶稣有13门徒， 请你证明：其中至少两个人的生日在同一个月. 导入问题 假设13个人所有人的生日都没在一个月； 推出矛盾； 推翻假设； 原命题成立. 分析 假设反面 问题分析 所以假设不成立. 如果每个月至多只能有一个人生日，那么人数数至多是12，与题目中的13人矛盾； 耶稣有13门徒，请你证明：其中至少两个人的生日在同一个月. 所以13人中至少两个人的生日在同一个月. 一般地，先假设命题结论的反面成立，在这个前提下，若推出的结果与定义、公理、定理相矛盾，或与命题中的已知条件相矛盾，或与假定相矛盾，从而证明命题结论的反面不可能成立，由此断定命题的结论成立.这种证明方法叫做反证法. 反证法的步骤： ① 作出否定结论的假设； ② 进行推理，导出矛盾； ③ 否定假设，肯定结论. 抽象概念 （反设） （归缪） （结论） 证明 假设命题的结论不成立，即“2不能整除a”. 因为a是整数，故a是奇数，a可表示为2m+1（m为整数），则 即a2是奇数.所以，2不能整除a2. 这与已知“2能整除a2”相矛盾. 于是，“2不能整除a”这个假设错误，故2能整除a. 例1 已知a是整数，2能整除a2，求证：2能整除a. 例题讲解 注意 1.反证法的步骤；2.假设的结果与条件矛盾. 例2 在同一平面内，两条直线a，b都和直线c垂直. 求证：a与b平行. 证明 假设命题的结论不成立，即“直线a与b相交”.设直线a，b的交点为M，a，c的交点为P，b，c的交点为Q，如图所示，则 这样 的内角和 例题讲解 注意 假设的结果与定义、公理、定理矛盾. 这与定理“三角形的内角和等于 ”相矛盾，这说明假设是错误的.所以直线a与b不相交，即a与b平行. 例3 求证： 是无理数. 证明 例题讲解 分析 至少有一个，若从正面考虑，需分多种情况，一一去证明，比较繁琐，而反方面只有“没有一个数大于25”这一种情况，即“所有的数都小于等于25”，那么它们之和小于等于100，与条件大于100矛盾，所以原命题成立. 练习 已知 ； 求