第三章 §4 反证法-2020-2021学年高中数学选修1-2【导学教程】同步辅导（北师大版）课件PPT

第三章 推理与证明 |数学|选修1-2 (BSD) 菜 单 §4　反证法 第三章 推理与证明 |数学|选修1-2 (BSD) 菜 单 情景导入 目标定位 王戎小时候，常和小朋友们在路上玩耍.一天，他们发现路边的一棵树上结满了李子，小朋友们一哄而上，去摘李子，独有王戎没动.等到小朋友们摘了李子一尝，原来是苦的.他们都问王戎：“你怎么知道李子是苦的呢？”王戎说：“假如李子不苦的话，早被路人摘光了，而这棵树上却结满了李子，所以李子一定是苦的.” 王戎的论述实质上就是运用了反证法的思想. 1.理解反证法的概念. 2.会用反证法证明数学问题. 第三章 推理与证明 |数学|选修1-2 (BSD) 菜 单 [知识整合] 1.反证法的定义 在证明数学命题时，先____________________成立，在这个前提下，若推出的结果与________、________、________相矛盾，或与命题中的________相矛盾，或与________相矛盾，从而说明________________不可能成立，由此断定_____________成立，这种证明方法叫作反证法. 假定命题结论的反面 定义 公理 定理 已知条件 假定 命题结论的反面 命题的结论 课前预习案·素养养成 第三章 推理与证明 |数学|选修1-2 (BSD) 菜 单 2.反证法的证题步骤 否定结论 导出矛盾 否定假设 第三章 推理与证明 |数学|选修1-2 (BSD) 菜 单 提示　在证明数学命题时，要证明的结论要么正确，要么错误，二者必居其一，所以命题结论q的反面q错误时，q就一定正确. 1.用反证法证明命题“若p，则q”时，为什么q假q就真？ 第三章 推理与证明 |数学|选修1-2 (BSD) 菜 单 2.反证法解题的实质是什么？ 提示　用反证法解题的实质就是否定结论导出矛盾，从而证明原结论正确.否定结论：对结论的反面要一一否定，不能遗漏；否定一个反面的反证法称为归谬法，否定两个或两个以上反面的反证法称为穷举法；要注意用反证法解题，“否定结论”在推理论证中作为已知使用，导出矛盾是指在假设的前提下，逻辑推理结果与“已知条件、假设、公理、定理或显然成立的事实”等相矛盾. 第三章 推理与证明 |数学|选修1-2 (BSD) 菜 单 [核心突破] 一、反证法的理论基础 反证法的证明过程可以概括为“否定—推理—否定”，即从否定结论开始，经过正确的推理，导致逻辑矛盾，从而达到新的否定(即肯定原命题)的过程，用反证法证明命题“若p则q”的过程可以表示如下： 第三章 推理与证明 |数学|选修1-2 (BSD) 菜 单 eq \x(\a\al(肯定条件p,否定结论q))→eq \x(\a\al(导致逻,辑矛盾))→eq \x(“若p则綈q”为假)→eq \x(“若p则q”为真) 简单地说，“若p则q”的否定为“若p则綈q”，因为两命题的真假性相反，只要能判定“若p则綈q假，”便能肯定“若p则q”为真. 第三章 推理与证明 |数学|选修1-2 (BSD) 菜 单 二、反证法的一般步骤 1.分清命题的条件和结论； 2.做出与命题结论相矛盾的假定； 3.由假定出发，应用正确的推理方法，推出矛盾的结果； 4.断定产生矛盾结果的原因，在于开始所做的假定不真，于是原结论成立，从而间接地证明命题为真. 第三章 推理与证明 |数学|选修1-2 (BSD) 菜 单 三、宜用反证法的题型 1.要证的结论与条件之间的联系不明显，直接由条件推出结论的线索不够清晰. 2.如果从正面证明，需要分成多种情况进行分类讨论，而从反面证明，只有一种或很少的几种情形. 3.直观判断显然成立的结论，否定性命题，唯一性命题，含“至多、至少”等字眼的存在性命题. 第三章 推理与证明 |数学|选修1-2 (BSD) 菜 单 课堂探究案·素养提升 题型一　用反证法证明存在性问题 　若a，b，c均为实数，且a＝x2－2y＋eq \f(π,2)，b＝y2－2z＋eq \f(π,3)，c＝z2－2x＋eq \f(π,6). 求证：a，b，c中至少有一个大于0. 第三章 推理与证明 |数学|选修1-2 (BSD) 菜 单 [自主解答]　假设a，b，c都不大于0， 即a≤0，b≤0，c≤0. ∵a＝x2－2y＋eq \f(π,2)，b＝y2－2z＋eq \f(π,3)，c＝z2－2x＋eq \f(π,6)， ∴x2－2y＋eq \f(π,2)＋y2－2z＋eq \f(π,3)＋z2－2x＋eq \f(π,6) ＝(x－1)2＋(y－1)2＋(z－1)2＋