陕西省榆林市第十二中学北师大版高中数学选修1-2课件：3.4 反证法 (共12张PPT)

4.1 反证法 例1. 已知：a是整数，2能整除a2。求证：2能整除a。 证明：假设命题的结论不成立，即“2不能整除a”． 因为a是整数，故a是奇数， a可以表示为2m+1（m为整数）， 则a2=（2m+1）2=4m2+4m+1=2（2m2+2m）+1， 即a2是奇数． 所以，2不能整除a2．这与已知“2能整除a2”相矛盾． 所以“2不能整除a”这个假设错误， 故2能整除a． 反证法定义： 假设原命题结论的反面成立，在这个前提下，若推出的结果与定义、公理、定理相矛盾，或与命题中的已知条件相矛盾，或与假定相矛盾，从而说明命题结论的反面不可能成立，由此断定命题的结论成立。这种证明方法叫做反证法（归谬法） 证题步骤 （1）做出否定结论的假设 （2）进行推理，导出矛盾 （3）否定假设，肯定结论 归缪矛盾： （1）与已知条件矛盾； （2）与已有公理、定理、定义矛盾； （3）自相矛盾 变式训练1. a是整数，3能整除a的平方，求证：3能整除a. 已知a1+a2+a3+a4>100,求证：a1，a2，a3，a4中，至少有一个数大于25. 证明 证明：假设2不是无理数，即√2是有理数，则它可以表示成两个整数之比，设√2=p/q（p、q为互质的正整数） 所以 2p2=q2 ① 故q2为偶数，q也是偶数。 不妨设q=2k， 代入①式得 2p2=4k2,即p2=2k2 所以p为偶数， p和q为偶数，有公约数2，与p、q互素矛盾 ∴假设不成立，√2是无理数 变式2. 求证：是无理数。 练习1. 已知a1+a2+a3+a4>100。 求证：a1，a2，a3，a4中，至少有一个数大于25. 练习2. 已知：如图有a、b、c三条直线，且a//c,b//c. 求证：a//b 证明： 假设a与b不平行，则可设它们相交于点A。 那么过点A 就有两条直线a、b与直线c平行， 这与“过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行矛盾,假设不成立。 ∴a//b. 练习3 . 求证：在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°。 已知：△ABC ,