第一章 §3.2 等比数列的前n项和-2020-2021学年高中数学必修5【导学教程】同步辅导（北师大版）课件PPT

第一章 数列 菜 单 数学·必修5（BSD） §3.2　等比数列的前n项和 第一章 数列 菜 单 数学·必修5（BSD） [课标解读] 1．理解并掌握等比数列的前n项和公式及推导过程．(难点) 2．掌握等比数列前n项和公式，并能应用解有关问题．(重点) 3．会求简单数列的和．(难点) 第一章 数列 菜 单 数学·必修5（BSD） 1．等比数列的前n项和公式 [教材梳理] 已知量 首项、公比与项数 首项、末项与项数 求和 公式 知识整合·新知探究 Sn＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(na1，q＝1，,\f(a1（1－qn）,1－q)，q≠1)) Sn＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(na1，q＝1，,\f(a1－anq,1－q)，q≠1)) 第一章 数列 菜 单 数学·必修5（BSD） q qn 2.项的个数的“奇偶”性质 在等比数列{an}中，公比为q. (1)若共有2n项，则S偶∶S奇＝____； (2)若共有2n＋1项，则S奇－S偶＝eq \f(a1（1＋q2n＋1）,1＋q)，(q≠1且q≠－1)． 3．片段和性质 等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…成等比数列(当q＝－1，n为偶数时，上述性质不成立)，公比为_____． 第一章 数列 菜 单 数学·必修5（BSD） [要点探究] ►知识点一　等比数列的前n项和 根据等比数列前n项和的推导过程，思考下面的问题： 设等比数列{an}的前n项和为Sn＝a1＋a2＋…＋an， 即Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1.① ①式的两边同乘以q，得 qSn＝a1q＋a1q2＋a1q3＋…＋a1qn－1＋a1qn.② ①－②得(1－q)Sn＝a1－a1qn， 当q≠1时，得Sn＝eq \f(a1（1－qn）,1－q). 第一章 数列 菜 单 数学·必修5（BSD） [探究1]　(1)①式两边为什么要同乘以q? 提示　根据等比数列的定义，①式两边同乘以q，可以使所得到的式子与①式有若干共同的项，使得作差后能消去若干项，得到有限项，从而求出数列的前n项和． 第一章 数列 菜 单 数学·必修5（BSD） 提示　当q＝1时，数列中的每一项都相等，所以其前n项和Sn＝na1. (2)在推导Sn＝eq \f(a1（1－qn）,1－q)(q≠1)的过程中，限制了q≠1，当q＝1时，Sn等于多少呢？ 第一章 数列 菜 单 数学·必修5（BSD） [探究2]　在利用等比数列前n项和公式求和时，根据题设条件如何选用公式？ 提示　当已知a1，q，n，时，选用公式Sn＝eq \f(a1（1－qn）,1－q)(q≠1)；当已知a1，an，q时，选用公式Sn＝eq \f(a1－anq,1－q)(q≠1)． 第一章 数列 菜 单 数学·必修5（BSD） ►知识点二　等比数列前n项和的性质 根据Sn＝eq \f(a1（1－qn）,1－q)＝eq \f(a1,1－q)－eq \f(a1,1－q)qn(q≠1)探究以下问题： [探究1]　一个数列{an}的前n项和写成Sn＝Aqn＋B(q≠1)，若此数列是等比数列，则A＋B＝0吗？反之成立吗？ 第一章 数列 菜 单 数学·必修5（BSD） 提示　A＋B＝0，反之也成立．因为Sn＝eq \f(a1（1－qn）,1－q)＝eq \f(a1,1－q)－eq \f(a1,1－q)·qn，则常数项与qn的系数互为相反数，即A＋B＝0.反之，若A＋B＝0，则数列是等比数列．当n＝1时，a1＝S1＝Aq＋B＝A(q－1)． 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1 ＝Aqn－Aqn－1＝(q－1)·Aqn－1， 又∵a1＝A(q－1)满足an＝(q－1)Aqn－1， ∴an＝A(q－1)qn－1，∴{an}是等比数列． 第一章 数列 菜 单 数学·必修5（BSD） [探究2]　若数列{an}为等比数列，则Sk，S2k－Sk，S3k－S2k(其中Sk，S2k－Sk，S3k－S2k均不为零)成等比数列吗？若成等比数列，公比为多少？ 提示　Sk＝a1＋a2＋…＋ak， S2k－Sk＝ak＋1＋ak＋2＋…＋a2k＝qk(a1＋a2＋…＋ak)， S3k－S2k＝a2k＋1＋a2k＋2＋…＋a3k＝q2k(a1＋a2＋…＋ak)， 显然Sk，S2k－Sk，S3k－S2k也成等比数列，且新等比数列首项为Sk，公比为qk. 第一章 数列 菜 单 数学·必修5（BSD） 典例剖析·方法总结 题型一　与等比数列前n项和有关的基本运算 (1)若Sn＝189，q＝2，an＝96，