第三章 §3.1 基本不等式-2020-2021学年高中数学必修5【导学教程】同步辅导（北师大版）课件PPT

第三章 不等式 菜 单 数学·必修5（BSD） §3　基本不等式 §3.1　基本不等式 第三章 不等式 菜 单 数学·必修5（BSD） [课标解读] 1．了解基本不等式的证明过程． 2．能利用基本不等式证明简单不等式．(重点、难点) 第三章 不等式 菜 单 数学·必修5（BSD） 1．基本不等式 (1)形式：______________． (2)成立的前提条件：________，_______． (3)等号成立的条件：当且仅当______时等号成立． [教材梳理] a≥0 b≥0 a＝b 知识整合·新知探究 eq \f(a＋b,2)≥eq \r(ab) 第三章 不等式 菜 单 数学·必修5（BSD） 2．算术平均数和几何平均数 (1)定义： ________叫作正实数a，b的算术平均数． ________叫作正实数a，b的几何平均数． (2)关系： 两个正实数的算术平均数________它们的几何平均数． 不小于 eq \f(a＋b,2) eq \r(ab) 第三章 不等式 菜 单 数学·必修5（BSD） ►知识点　基本不等式 [探究1]　观察如图所示图形，其中AB是⊙O的直径，点C是AB上的一点，CD⊥AB，AC＝a，BC＝b，据此思考下列问题： [要点探究] 第三章 不等式 菜 单 数学·必修5（BSD） (1)利用此图形能得出的a，b间的不等关系是________． 提示　易证Rt△ACD∽Rt△DCB，则CD2＝CA·CB，即CD＝eq \r(ab)，这个圆的半径为eq \f(a＋b,2)， 显然它大于或等于CD，即eq \f(a＋b,2)≥eq \r(ab). 答案　eq \f(a＋b,2)≥eq \r(ab) 第三章 不等式 菜 单 数学·必修5（BSD） (2)C点在何位置时，上述不等式等号成立？ 提示　当且仅当点C与圆心重合，即a＝b时，等号成立． 第三章 不等式 菜 单 数学·必修5（BSD） [探究2]　根据基本不等式及其成立的条件，回答下列问题： (1)若a，b同号，则eq \f(a＋b,2)与eq \r(ab)的关系如何？ 提示　当a，b>0时，eq \f(a＋b,2)≥eq \r(ab)； 当a，b<0时，－a，－b>0， 所以eq \f(a＋b,2)＝－eq \f(（－a）＋（－b）,2)≤－eq \r(（－a）（－b）)＝－eq \r(ab)，即eq \f(a＋b,2)≤－eq \r(ab). 第三章 不等式 菜 单 数学·必修5（BSD） (2)当a，b异号时，不等式eq \f(a＋b,2)≥eq \r(ab)一定不成立吗？ 提示　一定不成立，因为当a，b异号时，ab<0，所以eq \r(ab)无意义，故不等式一定不成立． 第三章 不等式 菜 单 数学·必修5（BSD） 典例剖析·方法总结 eq \x(题型一　对基本不等式的理解) A．lgeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2＋\f(1,4)))＞lg x(x＞0) B．sin x＋eq \f(1,sin x)≥2(x≠kπ，k∈Z) C．x2＋1≥2|x|(x∈R) D.eq \f(1,x2＋1)＞1(x∈R) 第三章 不等式 菜 单 数学·必修5（BSD） 【答案】　C 【尝试解答】　取x＝eq \f(1,2)，则lgeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2＋\f(1,4)))＝lg x，故排除A；取x＝eq \f(3,2)π，则sin x＝－1，故排除B；取x＝0, 则eq \f(1,x2＋1)＝1，故排除D，应选C. 第三章 不等式 菜 单 数学·必修5（BSD） ●方法技巧 基本不等式eq \f(a＋b,2)≥eq \r(ab)(a>0，b>0)的两个关注点 1．不等式成立的条件：a，b都是正数． 2．“当且仅当”的含义： (1)仅当a＝b时，eq \f(a＋b,2)≥eq \r(ab)的等号成立， 即a＝b⇒eq \f(a＋b,2)＝eq \r(ab)； (2)仅当eq \f(a＋b,2)≥eq \r(ab)的等号成立时，a＝b 即eq \f(a＋b,2)＝eq \r(ab)⇒a＝b. 第三章 不等式 菜 单 数学·必修5（BSD） 1．已知a>0，b>0，给出下列四个不等式： ①a＋b＋eq \f(1,\r(ab))≥2eq \r(2)　②(a＋b)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(1,b)))≥4　 ③eq \f(a2＋b2,\r(ab))≥a＋b　④a＋eq \f(1,a＋