专题02 计数原理（同步练习）-2020-2021学年高二数学（理）单元复习（人教A版选修2-3）

专题02 计数原理（同步练习） 一、计数原理 例1-1．要从甲、乙、丙 幅不同的画中选出 幅，分别挂在左、右两边墙上的指定位置，问共有多少种不同的挂法？ 【解析】从 幅画中选出 幅分别挂在左、右两边墙上，可以分两个步骤完成： 第 步，从 幅画中选 幅挂在左边墙上，有 种选法， 第 步，从剩下的 幅画中选 幅挂在右边墙上，有 种选法， 根据分步乘法计数原理，不同挂法的种数是 。 例1-1．给程序模块命名，需要用 个字符，其中首字符要求用字母 或 ，后两个要求用数字 。问最多可以给多少个程序命名？ 【解析】先计算首字符的选法。由分类加法计数原理，首字符共有 种选法， 再计算可能的不同程序名称。由分步乘法计数原理，最多可以有 个不同的名称， 即最多可以给 个程序命名。 例1-3．核糖核酸( )分子是在生物细胞中发现的化学成分一个 分子是一个有着数百个甚至数千个位置的长链，长链中每一个位置上都由一种称为碱基的化学成分所占据。总共有 种不同的碱基，分别用 、 、 、 表示。在一个 分子中，各种碱基能够以任意次序出现，所以在任意一个位置上的碱基与其他位置上的碱基无关。假设有一类 分子由 个碱基组成，那么能有多少种不同的 分子？ 【解析】 个碱基组成的长链共有 个位置， 从左到右依次在每一个位置中，从 、 、 、 中任选一个填入， 每个位置有 种填充方法， 根据分步乘法计数原理，长度为 的所有可能的不同 分子数目有 个。 例1-4．电子元件很容易实现电路的通与断、电位的高与低等两种状态，而这也是最容易控制的两种状态。因此计算机内部就采用了每一位只有 或 两种数字的记数法，即二进制。为了使计算机能够识别字符，需要对字符进行编码，每个字符可以用一个或多个字节来表示，其中字节是计算机中数据存储的最小计量单位，每个字节由 个二进制位构成。问： (1)一个字节( 位)最多可以表示多少个不同的字符？ (2)计算机汉字国标码( 码)包含了 个汉字，一个汉字为一个字符，要对这些汉字进行编码，每个汉字至少要用多少个字节表示？ 【解析】(1)用图来表示一个字节。一个字节共有 位，每位上有 种选择， 根据分步乘法计数原理，一个字节最多可以表示 个不同的字符； (2)由(1)知，用一个字节所能表示的不同字符不够 个， 我们就考虑用 个字节能够表示多少个字符， 前一个字节有 种不同的表示方法，后一个字节也有 种表示方法， 根据分步乘法计数原理， 个字节可以表示 个不同的字符， 这已经大于汉字国标码包含的汉字个数 ， 所以要表示这些汉字，每个汉字至少要用 个字节表示。 例1-5．随着人们生活水平的提高，某城市家庭汽车拥有量迅速增长，汽车牌照号码需交通管理部门出台了一种汽车牌照组成办法，每一个汽车牌照都必须有 个不重复的英文字母和 个不重复的阿拉伯数字，并且 个字母必须合成一组出现， 个数字也必须合成一组出现。那么这种办法共能给多少辆汽车上牌照？ 【解析】将汽车牌照分为 类，一类的字母组合在左，另一类的字母组合在右。字母组合在左时， 分 个步骤确定一个牌照的字母和数字： 第 步，从 个字母中选 个，放在首位，有 种选法， 第 步，从剩下的 个字母中选 个，放在第 位，有 种选法， 第 步，从剩下的 个字母中选 个，放在第 位，有 种选法， 第 步，从 个数字中选 个，放在第 位，有 种选法， 第 步，从剩下的 个数字中选 个，放在第 位，有 种选法， 第 步，从剩下的 个字母中选 个，放在第 位，有 种选法， 根据分步乘法计数原理，字母组合在左的牌照共有 个， 同理，字母组合在右的牌照也有 个。 ∴共能给 辆汽车上牌照。 二、排列 例2-1．某年全国足球甲级(A组)联赛共有 个队参加，每队要与其余各队在主、客场分别比赛一次，共进行多少场比赛？ 【解析】任意两队间进行 次主场比赛与 次客场比赛，对应于从 个元素中任取 个元素的一个排列。 ∴比赛的总场次是 。 例2-2．(1)从 本不同的书中选 本送给 名同学，每人各 本，共有多少种不同的送法？ (2)从 种不同的书中买 本送给 名同学，每人各 本，共有多少种不同的送法？ 【解析】(1)从 本不同的书中选出 本分别送给 名同学， 对应于从 个不同元素中任取 个元素的一个排列， 因此不同送法的种数是 。 (2)由于有 种不同的书，送给每个同学的 本书都有 种不同的选购方法， 因此送给 名同学每人各 本书的不同方法种数是 。 例2-3．用 到 这 个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？ 【解析】解法1：由于在没有重复数字的三位数中，百位上的数字不能是 ，因此可以分两步完成排列， 第 步，排百位上的数字，可以从 到 这九个数字中任选 个，有 种选法， 第 步，排十位和个位上的数字，可以从余下的 个数字中任选 个，有