专题01 计数原理（知识梳理）-2020-2021学年高二数学（理）单元复习（人教A版选修2-3）

专题01 计数原理（知识梳理） 一、基本概念 一、分类加法计数原理和分步乘法计数原理 1、分类加法计数原理： 完成一件事情，有 类办法，在第 类办法中有 种不同的方法，在第 类办法中有 种不同的方法…在第 类办法中有 种不同的方法。那么完成这件事共有 种不同的方法。 例1-1．一蚂蚁沿着长方体的棱，从的一个顶点爬到相对的另一个顶点的最近路线共有多少条？ 【解析】从总体上看，蚂蚁从顶点 爬到顶点 有三类方法，从局部上看每类又需两步完成， ∴第一类 条，第二类 条，第三类 条， ∴根据加法原理，从顶点 到顶点 最近路线共有 条。 2、分步乘法计数原理： 完成一件事情，需要分成 个步骤，做第 步有 种不同的方法，做第 步有 种不同的方法…做第 步有 种不同的方法。那么完成这件事共有 种不同的方法。 例1-2．如图，要给地图 、 、 、 四个区域分别涂上 种不同颜色中的某一种，允许同一种颜色使用多次，但相邻区域必须涂不同的颜色，不同的涂色方案有多少种？ 【解析】按地图 、 、 、 四个区域依次分四步完成， 第一步 种，第二步 种， 第三步 种，第四步 种， ∴根据乘法原理，得到不同的涂色方案种数共有 。 3、理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理异同点： ①相同点：都是完成一件事的不同方法种数的问题。 ②不同点：分类加法计数原理针对的是“分类”问题，完成一件事要分为若干类，各类的方法相互独立，各类中的各种方法也相对独立，用任何一类中的任何一种方法都可以单独完成这件事，是独立完成；而分步乘法计数原理针对的是“分步”问题，完成一件事要分为若干步，各个步骤相互依存，完成任何其中的一步都不能完成该件事，只有当各个步骤都完成后，才算完成这件事，是合作完成。 4、计数原理的解题步骤 (1)指明要完成一件什么事，并依事件特点确定是“分 类”还是“分 步”； (2)求每“类”或每“步”中不同方法的种数； (3)利用“相加”或“相乘”得到完成事件的方法总数； (4)作答。 5、从 个不同元素中，每次取出 个元素，元素可以重复出现，按照一定的顺序排成一排，那么第一、第二……第 位上选取元素的方法都是 个，所以从 个不同元素中，每次取出 个元素可重复排列数 。 例1-3．书架的第 层放有 本不同的计算机书，第 层放有 本不同的文艺书，第 层放 本不同的体育书。 (1)从书架上任取 本书，有多少种不同的取法？ (2)从书架的第 、 、 层各取 本书，有多少种不同的取法？ (3)从书架上任取两本不同学科的书，有多少种不同的取法？ 【解析】(1)要完成的事是“取一本书”，由于不论取书架的哪一层的书都可以完成了这件事， 因此是分类问题，应用分类计数原理：从书架上任取 本书，有 类方法： 第 类方法是从第 层取 本计算机书，有 种方法， 第 类方法是从第 层取 本文艺书，有 种方法， 第 类方法是从第 层取 本体育书，有 种方法， 根据分类加法计数原理，不同取法的种数是 ； (2)要完成的事是“从书架的第 、 、 层中各取一本书”， 由于取一层中的一本书都只完成了这件事的一部分， 只有第 、 、 层都取后，才能完成这件事， 因此是分步问题，应用分步计数原理： 从书架的第 、 、 层各取 本书，可以分成 个步骤完成： 第 步从第 层取 本计算机书，有 种方法， 第 步从第 层取 本文艺书，有 种方法， 第 步从第 层取 本体育书，有 种方法， 根据分步乘法计数原理，不同取法的种数是 ； (3)要完成的事是“取 本不同学科的书”， 先要考虑的是取哪两个学科的书，如取计算机和文艺书各 本， 再要考虑取 本计算机书或取 本文艺书都只完成了这件事的一部分， 应用分步计数原理，上述每一种选法都完成后，这件事才能完成， 因此这些选法的种数之间还应运用分类计数原理： 第 类方法是 本不同的计算机书和 本不同的文艺书中各选取 本，有 种方法， 第 类方法是 本不同的计算机书和 本不同的体育书各选取 本，有 种方法， 第 类方法是 本不同的计算机书和 本不同的体育书各选取 本，有 种方法， 根据分类加法计数原理，不同取法的种数是 。 二、排列 1、排列的定义：从 个不同元素中，任取 ( )个元素(这里的被取元素各不相同)按照一定的顺序排成一列，叫做从 个不同元素中取出 个元素的一个排列。 说明：(1)排列的定义包括两个方面：①取出元素，②按一定的顺序排列； (2)两个排列相同的条件：①元素完全相同，②元素的排列顺序也相同。 2、排列数的定义：从 个不同元素中，任取 ( )个元素的所有排列的个数叫做从 个元素中取出 元素的排列数，用符号 表示。 3、单一排列问题的解决方法 例2-1． 名同学，其中 名男同学， 名女同学： (1)站成一排，共有多少种不同的排法？ 【解析