第5讲 代数方程（二）-2020-2021学年沪教版（上海）八年级数学下册同步讲义（学生版+教师版）

第5讲 代数方程（二） 知识精要 一、无理方程 1、方程中含有根式，且被开方数是含有未知数的代数式，这样的方程叫做无理方程或根式方程。 2、求解无理方程的一般步骤： 1） 利用两边平方把无理方程转化为有理方程； 2） 求解有理方程； 3） 检验； 4） 写结论。 二、二元二次方程组 1、仅含有两个未知数，并且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程叫做二元二次方程；仅含有两个未知数，各方程是整式方程，并且含有未知数的项的最高次数是2，像这样的方程组叫做二元二次方程组。 2、解法：代入消元法和因式分解法 【典型例题】 类型一、无理方程概念 1．已知下列关于x的方程： 其中无理方程是____________________(填序号). 【思路点拨】判断无理方程的唯一依据就是看看根式中是否还有未知数. 【答案与解析】（2），（3），（5） 【总结升华】判断无理方程的唯一依据是无理方程的定义：方程中含有根式，且被开方数是含有未知数的代数式，这样的方程叫做无理方程. 举一反三： 【变式】下列方程哪些是无理方程？ 　(1)=0；　(2)=0；　(3).=0；（4）（是常数）． 【答案】（1）（2）（3）是无理方程． 类型二、判断无理方程解的情况 2．不解方程，你能判断出下列方程的根的情况吗？ ①； ②； ③. 【思路点拨】不解方程直接判断它的解的情况，主要看该方程能否成立，依据是“对于二次根式，有.” 【答案与解析】（1）因为，所以，所以方程无解 （2）因为，所以，所以方程无解 （3）因为，所以x≥5且x≤2，所以方程无解 【总结升华】对于某些特殊的无理方程，可以不解方程直接判断它的解的情况，主要依据是“对于二次根式，有.” 类型三、解无理方程 3．解方程 【答案与解析】 解：移项得： 两边平方得： 移项，合并同类项得： 解得：或 检验：把代入原方程，左边右边，所以是增根． 把代入原方程，左边 = 右边，所以是原方程的根． 所以，原方程的解是． 【总结升华】解含未知数的二次根式恰有一个的无理方程的一般步骤：①移项，使方程的左边只保留含未知数的二次根式，其余各项均移到方程的右边；②两边同时平方，得到一个整式方程；③解整式方程；④验根． 举一反三： 【变式】方程的根是 ． 【答案】解：方程两边同时平方得：x+1=4， 解得：x=3． 检验：x=3时，左边==2，则左边=右边， 故x=3是方程的解． 故答案是：x=3． 4、 【答案与解析】x=23 原方程变形为 两边平方得 x+2=81-+x-7 整理得 再两边平方得 x-7=16 解得 x=23 检验：把x=23代入原方程得，左边=右边 所以，原方程的根是 x=23 【总结升华】由于在方程的一边含有两个根式，直接平方将很困难．这时通常采用把一个根式移到另一边再平方的方法，这样就可以转化为上例的模式. 举一反三： 【变式】（2016春•静安区期末）解方程：. 【答案】解： 经检验是原方程的根， 所以原方程的根为． 类型四、“换元法”解无理方程 5、（杨浦区校级期中）解方程：4x2﹣10x+=17． 【思路点拨】利用换元法解方程：设=t，原方程转化为2t2+t﹣21=0，解此一元二次方程得到t1=3，t2=﹣，再分别解=3和=﹣，然后把解得的结果进行检验即可得到原方程的解． 【答案与解析】解：方程变形为2（2x2﹣5x+2）﹣﹣21=0 设=t， 则原方程转化为2t2+t﹣21=0， （t﹣3）（2t+7）=0， 解得t1=3，t2=﹣， 当t=3时，=3，则2x2﹣5x+2=9， 整理得2x2﹣5x﹣7=0，解得x1=，x2=﹣1； 当t=﹣时，=﹣，则方程无解， 经检验原方程的解为x1=，x2=﹣1． 【总结升华】本题考查了无理方程：方程中含有根式，且开方数是含有未知数的代数式，这样的方程叫做无理方程．解无理方程的基本思想是把无理方程转化为有理方程来解，在变形时要注意根据方程的结构特征选择解题方法．解无理方程，往往会产生增根，应注意验根． 举一反三： 【变式】解方程x2+3x－=1. 【答案】 解：设 换元后，整理得方程是， 解得，，， 所以， ，， 解这两个方程得，，，，， 检验：把，，，代入原方程得，，是原方程的根， 所以，原方程的根是，. 类型五、二元二次方程（组）判断 1．下列方程中，哪些是二元二次方程？是二元二次方程的请指出它的二次项、一次项和常数项. 【思路点拨】该题主要依据二元二次方程的定义。 【答案与解析】 （1）是，二次项、一次项y，常数项-1. （2）不是，因为只含一个未知数。 （3）不是，因为不是整式方程. （4）不是，因为不含二次