专题22新定义综合问题-2021年中考数学经典模型必刷题培优案

2021中考数学经典模型必刷题培优案 专题21新定义综合问题 经典例题 【例1】我们给出如下定义：顺次连接任意一个四边形各边中所得的四边形叫中点四边形． （1）如图1，在四边形ABCD中，点E、F、G、H分别为边AB、BC、CD、DA的中点，求证：中点四边形EFGH是平行四边形． （2）如图2，点P是四边形ABCD内一点，且满足PA＝PB，PC＝PD，∠APB＝∠CPD，点E、F、G、H分别为边AB、BC、CD、DA的中点．猜想中点四边形EFGH的形状，并证明你的猜想． （3）若改变（2）中的条件，使∠APB＝∠CPD＝90°，其他条件不变，直接写出中点四边形EFGH的形状（不必证明）． 【分析】（1）如图1中，连接BD，根据三角形中位线定理只要证明EH∥FG，EH＝FG即可． （2）四边形EFGH是菱形．先证明△APC≌△BPD，得到AC＝BD，再证明EF＝FG即可． （3）四边形EFGH是正方形，只要证明∠EHG＝90°，利用△APC≌△BPD，得∠ACP＝∠BDP，即可证明∠COD＝∠CPD＝90°，再根据平行线的性质即可证明． 【解析】（1）证明：如图1中，连接BD． ∵点E，H分别为边AB，DA的中点， ∴EH∥BD，EHBD， ∵点F，G分别为边BC，CD的中点， ∴FG∥BD，FGBD， ∴EH∥FG，EH＝GF， ∴中点四边形EFGH是平行四边形． （2）解：结论：四边形EFGH是菱形． 理由：如图2中，连接AC，BD． ∵∠APB＝∠CPD， ∴∠APB+∠APD＝∠CPD+∠APD 即∠APC＝∠BPD， 在△APC和△BPD中， ， ∴△APC≌△BPD（SAS）， ∴AC＝BD ∵点E，F，G分别为边AB，BC，CD的中点， ∴EFAC，FGBD， ∵四边形EFGH是平行四边形， ∴四边形EFGH是菱形． （3）解：结论：四边形EFGH是正方形． 理由：如图2中，设AC与BD交于点O．AC与PD交于点M，AC与EH交于点N． ∵△APC≌△BPD， ∴∠ACP＝∠BDP， ∵∠DMO＝∠CMP， ∴∠COD＝∠CPD＝90°， ∵EH∥BD，AC∥HG， ∴∠EHG＝∠ENO＝∠BOC＝∠DOC＝90°， ∵四边形EFGH是菱形， ∴四边形EFGH是正方形． 【例2】如果一个三角形一条边上的高等于这条边，那么这个三角形叫做“韵三角形”，这条边叫做“韵三角形”的底边． （1）等腰Rt△ABC　是　“韵三角形”（填“是”或“不是”）； （2）如图1，已知点P是正方形的边CD所在直线上的一个动点，AB＝4． ①△ABP　是　“韵三角形”（填“是”或“不是”），若△ABP是等腰三角形，则AP＝　4或2或4　； ②如图2，当点P在点C右侧，且tan∠BPC时，求AP的长； ③如图3，当点P在点C右侧，且BP时，将△ABP绕点A按逆时针旋转45°得到△AB′P′，AP′交直线CD于点Q，求AQ的长． 【分析】（1）由“韵三角形”可判断； （2）①过点P作PN⊥AB于N，由平行线间的距离相等可得PN＝BC＝AB，可得△ABP是“韵三角形”，由等腰三角形的性质可求解； ②由锐角三角函数可求CP＝3，由勾股定理可求解； ③通过证明△ADQ∽△P'EQ，可得，即可求解． 【解析】（1）∵△ABC是等腰直角三角形， ∴两直角边相等，即任何一条直角边的高等于直角边， ∴等腰Rt△ABC是“韵三角形”， 故答案为：是； （2）①如图1，过点P作PN⊥AB于N， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC＝CD＝AD，AB∥CD， ∵PN⊥AB，BC⊥AB， ∴PN＝BC， ∴PN＝AB， ∴△ABP是“韵三角形”， 若AP＝BA＝2时，则点P与点D重合，此时△APB是等腰三角形， 若AP＝PB时，点P在线段CD上， 又∵AD＝BC， ∴Rt△ADP≌Rt△BCP（HL）， ∴DP＝CP＝2， ∴AP2， 若AB＝PB＝4时，点P与点C重合， ∴APBA＝4， 综上所述：AP＝4或2或4， 故答案为：是，AP＝4或2或4； ②如图2，∵tan∠BPC， ∴CP＝3， ∴DP＝7， ∴AP； ③∵BP， ∴CP4， ∴CP＝BC，DP＝8， ∴∠CBP＝45°，AP4， ∴∠ABP＝135°， 如图3，连接AC， ∴∠CAB＝45°＝∠DCA，AC＝4， ∵将△ABP绕点A按逆时针旋转45°得到△AB′P′， ∴点B'在AC上，AP'＝AP＝4，P'B'＝4，∠AB'P'＝∠ABP＝135°，AB＝AB'＝4， ∴B'C＝44， 设CD与B'P'的交点为E， ∵∠AB'P'+∠DAC＝180°， ∴AD∥B'P'， ∴∠ADC＝∠B'EC＝90°， ∴B'E＝EC4﹣2， ∴P'E＝4（4﹣2）＝64， ∵AD∥P'B'，