专题03 二次函数与相似问题（连云港26题镇江27题扬州28题宿迁27题等）-2021年中考数学大题狂练之压轴大题突破培优练【江苏专用】

2021年中考数学大题狂练之压轴大题突破培优练（江苏专用） 专题3 二次函数与相似问题 【真题再现】 1．（2020年连云港中考第26题）在平面直角坐标系xOy中，把与x轴交点相同的二次函数图象称为“共根抛物线”．如图，抛物线L1：yx2x﹣2的顶点为D，交x轴于点A、B（点A在点B左侧），交y轴于点C．抛物线L2与L1是“共根抛物线”，其顶点为P． （1）若抛物线L2经过点（2，﹣12），求L2对应的函数表达式； （2）当BP﹣CP的值最大时，求点P的坐标； （3）设点Q是抛物线L1上的一个动点，且位于其对称轴的右侧．若△DPQ与△ABC相似，求其“共根抛物线”L2的顶点P的坐标． 【分析】（1）由题意设抛物线L2的解析式为y＝a（x+1）（x﹣4），利用待定系数法求出a即可解决问题． （2）由题意BP＝AP，如图1中，当A，C，P共线时，BP﹣PC的值最大，此时点P为直线AC与直线x的交点． （3）由题意，顶点D（，），∠PDQ不可能是直角，第一种情形：当∠DPQ＝90°时，①如图3﹣1中，当△QDP∽△ABC时．②如图3﹣2中，当△DQP∽△ABC时．第二种情形：当∠DQP＝90°．①如图3﹣3中，当△PDQ∽△ABC时．②当△DPQ∽△ABC时，分别求解即可解决问题． 【解析】（1）当y＝0时，x2x﹣2＝0，解得x＝﹣1或4， ∴A（﹣1，0），B（4，0），C（0，﹣2）， 由题意设抛物线L2的解析式为y＝a（x+1）（x﹣4）， 把（2，﹣12）代入y＝a（x+1）（x﹣4）， ﹣12＝﹣6a， 解得a＝2， ∴抛物线的解析式为y＝2（x+1）（x﹣4）＝2x2﹣6x﹣8． （2）∵抛物线L2与L1是“共根抛物线”，A（﹣1，0），B（4，0）， ∴抛物线L1，L2的对称轴是直线x， ∴点P在直线x上， ∴BP＝AP，如图1中，当A，C，P共线时，BP﹣PC的值最大， 此时点P为直线AC与直线x的交点， ∵直线AC的解析式为y＝﹣2x﹣2， ∴P（，﹣5） （3）由题意，AB＝5，CB＝2，CA， ∴AB2＝BC2+AC2， ∴∠ACB＝90°，CB＝2CA， ∵yx2x﹣2（x）2， ∴顶点D（，）， 由题意，∠PDQ不可能是直角， 第一种情形：当∠DPQ＝90°时， ①如图3﹣1中，当△QDP∽△ABC时，， 设Q（x，x2x﹣2），则P（，x2x﹣2）， ∴DPx2x﹣2﹣（）x2x，QP＝x， ∵PD＝2QP， ∴2x﹣3x2x，解得x或（舍弃）， ∴P（，）． ②如图3﹣2中，当△DQP∽△ABC时，同法可得PQ＝2PD， xx2﹣3x， 解得x或（舍弃）， ∴P（，）． 第二种情形：当∠DQP＝90°． ①如图3﹣3中，当△PDQ∽△ABC时，， 过点Q作QM⊥PD于M．则△QDM∽△PDQ， ∴，由图3﹣3可知，M（，），Q（，）， ∴MD＝8，MQ＝4， ∴DQ＝4， 由，可得PD＝10， ∵D（，） ∴P（，）． ②当△DPQ∽△ABC时，过点Q作QM⊥PD于M． 同法可得M（，），Q（，）， ∴DM，QM＝1，QD， 由，可得PD， ∴P（，）． 综上所述：P点坐标为（，）或（，）或（，）或（，）． 2．（2019年镇江第27题）如图，二次函数y＝﹣x2+4x+5图象的顶点为D，对称轴是直线l，一次函数yx+1的图象与x轴交于点A，且与直线DA关于l的对称直线交于点B． （1）点D的坐标是　（2，9）　； （2）直线l与直线AB交于点C，N是线段DC上一点（不与点D、C重合），点N的纵坐标为n．过点N作直线与线段DA、DB分别交于点P、Q，使得△DPQ与△DAB相似． ①当n时，求DP的长； ②若对于每一个确定的n的值，有且只有一个△DPQ与△DAB相似，请直接写出n的取值范围　n　． 【分析】（1）直接用顶点坐标公式求即可； （2）由对称轴可知点C（2，），A（，0），点A关于对称轴对称的点（，0），借助AD的直线解析式求得B（5，3）；①当n时，N（2，），可求DA，DN，CD当PQ∥AB时，△DPQ∽△DAB，DP＝DP；当PQ与AB不平行时，DP，；②当PQ∥AB，DB＝DP时，DB＝3，DN，所以N（2，），则有且只有一个△DPQ与△DAB相似时，n； 【解析】（1）顶点为D（2，9）； 故答案为（2，9）； （2）对称轴x＝2， ∴C（2，）， 由已知可求A（，0）， 点A关于x＝2对称点为（，0）， 则AD关于x＝2对称的直线为y＝﹣2x+13， ∴B（5，3）， ①当n时，N（2，）， ∴DA，DN，CD 当PQ∥AB时，△DPQ∽△DAB， ∵△DAC∽△DPN， ∴， ∴DP； 当PQ与AB不平行时，△DPQ∽△DBA， ∴△DNQ∽△DCA