专题02 二次函数与面积的最值定值问题（宿迁28题淮安27题常州徐州无锡盐城27题等）-2021年中考数学大题狂练之压轴大题突破培优练【江苏专用】

2021年中考数学大题狂练之压轴大题培优突破练（江苏专用） 专题2 二次函数与面积的最值定值问题 【真题再现】 1．（2020年宿迁中考第28题）二次函数y＝ax2+bx+3的图象与x轴交于A（2，0），B（6，0）两点，与y轴交于点C，顶点为E．． （1）求这个二次函数的表达式，并写出点E的坐标； （2）如图①，D是该二次函数图象的对称轴上一个动点，当BD的垂直平分线恰好经过点C时，求点D的坐标； （3）如图②，P是该二次函数图象上的一个动点，连接OP，取OP中点Q，连接QC，QE，CE，当△CEQ的面积为12时，求点P的坐标． 【分析】（1）由于二次函数的图象与x轴交于A（2，0）、B（6，0）两点，把A，B两点坐标代入y＝ax2+bx+3，计算出a的值即可求出抛物线解析式，由配方法求出E点坐标； （2）由线段垂直平分线的性质可得出CB＝CD，设D（4，m），由勾股定理可得42+（m﹣3）2＝62+32．解方程可得出答案； （3）设CQ交抛物线的对称轴于点M，设P（n，2n+3），则Q（），设直线CQ的解析式为y＝kx+3，则nk+3．解得k，求出M（4，n﹣5），ME＝n﹣4．由面积公式可求出n的值．则可得出答案． 【解析】（1）将A（2，0），B（6，0）代入y＝ax2+bx+3， 得， 解得 ∴二次函数的解析式为y2x+3． ∵y1， ∴E（4，﹣1）． （2）如图1，图2，连接CB，CD，由点C在线段BD的垂直平分线CN上，得CB＝CD． 设D（4，m）， ∵C（0，3），由勾股定理可得： 42+（m﹣3）2＝62+32． 解得m＝3±． ∴满足条件的点D的坐标为（4，3）或． （3）如图3，设CQ交抛物线的对称轴于点M， 设P（n，2n+3），则Q（）， 设直线CQ的解析式为y＝kx+3，则nk+3． 解得k，于是CQ：y＝（）x+3， 当x＝4时，y＝4（）+3＝n﹣5， ∴M（4，n﹣5），ME＝n﹣4． ∵S△CQE＝S△CEM+S△QEM． ∴n2﹣4n﹣60＝0， 解得n＝10或n＝﹣6， 当n＝10时，P（10，8），当n＝﹣6时，P（﹣6，24）． 综合以上可得，满足条件的点P的坐标为（10，8）或（﹣6，24）． 2．（2020年淮安中考第27题）如图①，二次函数y＝﹣x2+bx+4的图象与直线l交于A（﹣1，2）、B（3，n）两点．点P是x轴上的一个动点，过点P作x轴的垂线交直线l于点M，交该二次函数的图象于点N，设点P的横坐标为m． （1）b＝　1　，n＝　﹣2　； （2）若点N在点M的上方，且MN＝3，求m的值； （3）将直线AB向上平移4个单位长度，分别与x轴、y轴交于点C、D（如图②）． ①记△NBC的面积为S1，△NAC的面积为S2，是否存在m，使得点N在直线AC的上方，且满足S1﹣S2＝6？若存在，求出m及相应的S1，S2的值；若不存在，请说明理由． ②当m＞﹣1时，将线段MA绕点M顺时针旋转90°得到线段MF，连接FB、FC、OA．若∠FBA+∠AOD﹣∠BFC＝45°，直接写出直线OF与该二次函数图象交点的横坐标． 【分析】（1）将点A坐标代入二次函数解析式中，求出b，进而得出二次函数解析式，再将点B坐标代入二次函数中，即可求出n的值； （2）先表示出点M，N的坐标，进而用MN＝3建立方程求解，即可得出结论； （3）①先求出点C坐标，进而求出直线AC的解析式，再求出直线BC的解析式，进而表示出S1，S2，最后用S1﹣S2＝6建立方程求出m的值； ②先判断出CF∥OA，进而求出直线CF的解析式，再判断出AF∥x轴，进而求出点F的坐标，即可求出直线OF的解析式，最后联立二次函数解析式，解方程组即可得出结论． 【解析】（1）将点A（﹣1，2）代入二次函数y＝﹣x2+bx+4中，得﹣1﹣b+4＝2， ∴b＝1， ∴二次函数的解析式为y＝﹣x2+x+4， 将点B（3，n）代入二次函数y＝﹣x2+x+4中，得n＝﹣9+3+4＝﹣2， 故答案为：1，﹣2； （2）设直线AB的解析式为y＝kx+a，由（1）知，点B（3，﹣2）， ∵A（﹣1，2）， ∴， ∴， ∴直线AB的解析式为y＝﹣x+1， 由（1）知，二次函数的解析式为y＝﹣x2+x+4， ∵点P（m，0）， ∴M（m，﹣m+1），N（m，﹣m2+m+4）， ∵点N在点M的上方，且MN＝3， ∴﹣m2+m+4﹣（﹣m+1）＝3， ∴m＝0或m＝2； （3）①如图1，由（2）知，直线AB的解析式为y＝﹣x+1， ∴直线CD的解析式为y＝﹣x+1+4＝﹣x+5， 令y＝0，则﹣x+5＝0， ∴x＝5， ∴C（5，0）， ∵A（﹣1，2），B（3，﹣2）， ∴直线AC的解析式为yx，直线BC的解析式为y＝x﹣5，