专题01新定义材料阅读类创新题（南通常州南京镇江第27题徐州扬州第26题等）-2021年中考数学大题狂练之压轴大题突破培优练【江苏专用】

2021年中考数学大题狂练之压轴大题培优突破练（江苏专用） 专题1新定义材料阅读类创新题 【真题再现】 1．（2020年南通中考第27题）【了解概念】 有一组对角互余的凸四边形称为对余四边形，连接这两个角的顶点的线段称为对余线． 【理解运用】 （1）如图①，对余四边形ABCD中，AB＝5，BC＝6，CD＝4，连接AC．若AC＝AB，求sin∠CAD的值； （2）如图②，凸四边形ABCD中，AD＝BD，AD⊥BD，当2CD2+CB2＝CA2时，判断四边形ABCD是否为对余四边形．证明你的结论； 【拓展提升】 （3）在平面直角坐标系中，点A（﹣1，0），B（3，0），C（1，2），四边形ABCD是对余四边形，点E在对余线BD上，且位于△ABC内部，∠AEC＝90°+∠ABC．设u，点D的纵坐标为t，请直接写出u关于t的函数解析式． 【分析】（1）先构造直角三角形，然后利用对余四边形的性质和相似三角形的性质，求出sin∠CAD的值． （2）通过构造手拉手模型，即构造等腰直角三角形，通过证明三角形全等，利用勾股定理来证明四边形ABCD为对余四边形． （3）过点D作DH⊥x轴于点H，先证明△ABE∽△DBA，得出u与AD的关系，设D（x，t），再利用（2）中结论，求出AD与t的关系即可解决问题．． 【解析】（1）过点A作AE⊥BC于E，过点C作CF⊥AD于F． ∵AC＝AB， ∴BE＝CE＝3， 在Rt△AEB中，AE4， ∵CF⊥AD， ∴∠D+∠FCD＝90°， ∵∠B+∠D＝90°， ∴∠B＝∠DCF， ∵∠AEB＝∠CFD＝90°， ∴△AEB∽△DFC， ∴， ∴， ∴CF， ∴sin∠CAD． （2）如图②中，结论：四边形ABCD是对余四边形． 理由：过点D作DM⊥DC，使得DM＝DC，连接CM． ∵四边形ABCD中，AD＝BD，AD⊥BD， ∴∠DAB＝∠DBA＝45°， ∵∠DCM＝∠DMC＝45°， ∴∠CDM＝∠ADB＝90°， ∴∠ADC＝∠BDM， ∵AD＝DB，CD＝DM， ∴△ADC≌△BDM（SAS）， ∴AC＝BM， ∵2CD2+CB2＝CA2，CM2＝DM2+CD2＝2CD2， ∴CM2+CB2＝BM2， ∴∠BCM＝90°， ∴∠DCB＝45°， ∴∠DAB+∠DCB＝90°， ∴四边形ABCD是对余四边形． （3）如图③中，过点D作DH⊥x轴于H． ∵A（﹣1，0），B（3，0），C（1，2）， ∴OA＝1，OB＝3，AB＝4，AC＝BC＝2， ∴AC2+BC2＝AB2， ∴∠ACB＝90°， ∴∠CBA＝∠CAB＝45°， ∵四边形ABCD是对余四边形， ∴∠ADC+∠ABC＝90°， ∴∠ADC＝45°， ∵∠AEC＝90°+∠ABC＝135°， ∴∠ADC+∠AEC＝180°， ∴A，D，C，E四点共圆， ∴∠ACE＝∠ADE， ∵∠CAE+∠ACE＝∠CAE+∠EAB＝45°， ∴∠EAB＝∠ACE， ∴∠EAB＝∠ADB， ∵∠ABE＝∠DBA， ∴△ABE∽△DBA， ∴， ∴， ∴u， 设D（x，t）， 由（2）可知，BD2＝2CD2+AD2， ∴（x﹣3）2+t2＝2[（x﹣1）2+（t﹣2）2]+（x+1）2+t2， 整理得（x+1）2＝4t﹣t2， 在Rt△ADH中，AD2， ∴u（0＜t＜4）， 即u（0＜t＜4）． 2．（2020年常州中考第27题）如图1，⊙I与直线a相离，过圆心I作直线a的垂线，垂足为H，且交⊙I于P、Q两点（Q在P、H之间）．我们把点P称为⊙I关于直线a的“远点“，把PQ•PH的值称为⊙I关于直线a的“特征数”． （1）如图2，在平面直角坐标系xOy中，点E的坐标为（0，4）．半径为1的⊙O与两坐标轴交于点A、B、C、D． ①过点E画垂直于y轴的直线m，则⊙O关于直线m的“远点”是点　D　（填“A”、“B”、“C”或“D”），⊙O关于直线m的“特征数”为　10　； ②若直线n的函数表达式为yx+4．求⊙O关于直线n的“特征数”； （2）在平面直角坐标系xOy中，直线l经过点M（1，4），点F是坐标平面内一点，以F为圆心，为半径作⊙F．若⊙F与直线l相离，点N（﹣1，0）是⊙F关于直线l的“远点”．且⊙F关于直线l的“特征数”是4，求直线l的函数表达式． 【分析】（1）①根据远点，特征数的定义判断即可． ②如图1中，过点O作OH⊥直线n于H，交⊙O于Q，P．解直角三角形求出PH，PQ的长即可解决问题． （2）如图2中，设直线l的解析式为y＝kx+b．分两种情形k＞0或k＜0，分别求解即可解决问题． 【解析】（1）①由题意，点D是⊙O关于直线m的“远点”，⊙O关于直线m的特征数＝DB•DE＝2×5＝10， 故答案为：D，10．