专题10 空间向量与立体几何-备战2021年高考数学（理）经典小题考前必刷集合

专题10 空间向量与立体几何 <一>常用结论 1．证明直线与直线的平行的思考途径：（1）转化为判定共面二直线无交点；（2）转化为二直线同与第三条直线平行；（3）转化为线面平行；（4）转化为线面垂直；（5）转化为面面平行. 2．证明直线与平面的平行的思考途径：（1）转化为直线与平面无公共点；（2）转化为线线平行；（3）转化为面面平行. 3．证明平面与平面平行的思考途径：（1）转化为判定二平面无公共点；（2）转化为线面平行；（3）转化为线面垂直. 4．证明直线与直线的垂直的思考途径：（1）转化为相交垂直；（2）转化为线面垂直；（3）转化为线与另一线的射影垂直；（4）转化为线与形成射影的斜线垂直. 5．证明直线与平面垂直的思考途径：（1）转化为该直线与平面内任一直线垂直；（2）转化为该直线与平面内相交二直线垂直；（3）转化为该直线与平面的一条垂线平行；（4）转化为该直线垂直于另一个平行平面；（5）转化为该直线与两个垂直平面的交线垂直. 6．证明平面与平面的垂直的思考途径：（1）转化为判断二面角是直二面角；（2）转化为线面垂直. 7.夹角公式 ：设a＝，b＝，则cos〈a，b〉=. 8．异面直线所成角：= （其中（）为异面直线所成角，分别表示异面直线的方向向量） 9.直线与平面所成角：(为平面的法向量). 10、空间四点A、B、C、P共面，且 x + y + z = 1 11.二面角的平面角 或（，为平面，的法向量）. 12.三余弦定理：设AC是α内的任一条直线，且BC⊥AC，垂足为C，又设AO与AB所成的角为，AB与AC所成的角为，AO与AC所成的角为．则. 13.空间两点间的距离公式 若A，B，则=. 14.异面直线间的距离： (是两异面直线，其公垂向量为，分别是上任一点，为间的距离). 15.点到平面的距离：（为平面的法向量，是经过面的一条斜线，）. 16.三个向量和的平方公式： 17. 长度为的线段在三条两两互相垂直的直线上的射影长分别为，夹角分别为,则有. （立体几何中长方体对角线长的公式是其特例）. 18. 面积射影定理 .(平面多边形及其射影的面积分别是、，它们所在平面所成锐二面角的). 19. 球的组合体(1)球与长方体的组合体: 长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长.(2)球与正方体的组合体:正方体的内切球的直径是正方体的棱长, 正方体的棱切球的直径是正方体的面对角线长, 正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长.(3) 球与正四面体的组合体: 棱长为的正四面体的内切球的半径为,外接球的半径为. 20. 求点到面的距离的常规方法是什么？（直接法、体积法） 21. 求多面体体积的常规方法是什么？（割补法、等积变换法） 〈二〉温馨提示： 1.直线的倾斜角、两条异面直线所成的角等时它们各自的取值范围？ ① 异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的取值范围依次. ② 直线的倾斜角、到的角、与的夹角的取值范围依次是． 〈三〉解题思路： 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！5 1、平行垂直的证明主要利用线面关系的转化： 2、三类角的定义及求法 （1）异面直线所成的角θ，0°＜θ≤90° （2）直线与平面所成的角θ，0°≤θ≤90° （三垂线定理法：A∈α作或证AB⊥β于B，作BO⊥棱于O，连AO，则AO⊥棱l，∴∠AOB为所求。） 三类角的求法： ①找出或作出有关的角。 ②证明其符合定义，并指出所求作的角。 ③计算大小（解直角三角形，或用余弦定理）。 难度：★★★☆☆ 建议用时： 15分钟 正确率 ： /15 1．（2020·天津高考真题）若棱长为的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ） A． B． C． D． 2．（2020·海南高考真题）日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间．把地球看成一个球(球心记为O)，地球上一点A的纬度是指OA与地球赤道所在平面所成角，点A处的水平面是指过点A且与OA垂直的平面.在点A处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A处的纬度为北纬40°，则晷针与点A处的水平面所成角为（ ） A．20° B．40° C．50° D．90° 3．（2020·全国高考真题（理））埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为（ ） A． B． C． D．