专题17 新定义与阅读理解题型全解-决胜2021中考数学压轴题全揭秘精品（河南专用）

专题17 新定义与阅读理解题型全解 【典例解析】 【题型一】新定义 例1. 【2020·四川乐山】我们用符号表示不大于的最大整数.例如：，.那么： （1）当时，的取值范围是 ； （2）当时，函数的图象始终在函数的图象下方.则实数的范围是 . 【答案】0≤x<3；a＜-1或a≥1.5. 【解析】解： （1）∵【x】表示整数， ∴当时，[x]=0，1，2 当[x]=0时，0≤x<1； 当[x]=1时，1≤x<2； 当[x]=2时，2≤x<3， 故当时，x的取值范围是0≤x<3. （2）由题意知，函数y=x2-2a[x]+3-[x]-3= x2-（2a+1）[x]，在-1≤x＜2时，y<0， ①当-1≤x＜0时，[x]=-1，此时y=x2+2a+1，最大值是当x=-1时取得， 即2a+2<0，解得：a<-1， 当a=-1时，y=x2-1，此时x=-1时，y=0不符合题意； ②当0≤x<1时，[x]=0，此时y=x2≥0，不符合题意 ③当1≤x<2时，[x]=1，此时y=x2-2a-1，当x=2时取最大值， 即4-2a-1<0，解得：a>1.5 当a=1.5时，y=x2－4，此时x≠2，即y≠0，符合题意； 综上所述，a＜-1或a≥1.5. 例2. 【2020·重庆A卷】在整数的除法运算中，只有能整除与不能整除两种情况，当不能整除时，就会产生余数，现在我们利用整数的除法运算来研究一种数——“差一数”. 定义：对于一个自然数，如果这个数除以5余数为4，且除以3余数为2，则称这个数为“差一数”. 例如：，，所以14是“差一数”； ，但，所以19不是“差一数”. （1）判断49和74是否为“差一数”？请说明理由； （2）求大于300且小于400的所有“差一数”. 【答案】见解析. 【解析】解：（1）49÷5=9…… 4；49÷3=16…… 1，所以49不是“差一数”； 74÷5=14…… 4；74÷3=24…… 2，所以74是“差一数” （2）规律：被5除余4的数尾数为4或9；被3除余2的数各位数之和被3除余2； 按此规律，得大于300且小于400的所有“差一数”为：314，329，344，359，374，389. 例3. 【2020·湖南长沙】我们不妨约定：若某函数图象上至少存在不同的两点关于原点对称，则把该函数称之为“H函数”，其图象上关于原点对称的两点叫做一对“H点”．根据该约定，完成下列各题． （1）在下列关于x的函数中，是“H函数”的，请在相应题目后面的括号中打“√”，不是“H函数”的打“×”． ①y＝2x（　 　）； ②y（m≠0）（　 　）； ③y＝3x﹣1（　 　）． （2）若点A（1，m）与点B（n，﹣4）是关于x的“H函数”y＝ax2+bx+c（a≠0）的一对“H点”，且该函数的对称轴始终位于直线x＝2的右侧，求a，b，c的值或取值范围． 【答案】见解析. 【解析】解：（1）①y＝2x是“H函数”．②y（m≠0）是“H函数”．③y＝3x﹣1不是“H函数”． 故答案为：√，√，×． （2）∵A，B是“H点”， ∴A，B关于原点对称， ∴m＝4，n＝﹣1， ∴A（1，4），B（﹣1，﹣4）， 代入y＝ax2+bx+c（a≠0） 得， ∴， ∵该函数的对称轴始终位于直线x＝2的右侧， ∴2， ∴2， ∴﹣1＜a＜0， ∵a+c＝0， ∴0＜c＜1， 综上所述，﹣1＜a＜0，b＝4，0＜c＜1． 【题型二】阅读理解 例4.【2020·湖南常德】阅读理解：对于x3﹣（n2+1）x+n 这类特殊的代数式可以按下面的方法分解因式： x3﹣（n2+1）x+n＝x3﹣n2x﹣x+n＝x（x2﹣n2）﹣（x﹣n）＝x（x﹣n）（x+n）﹣（x﹣n） ＝（x﹣n）（x2+nx﹣1）． 理解运用：如果x3﹣（n2+1）x+n＝0，那么（x﹣n）（x2+nx﹣1）＝0，即有x﹣n＝0 或 x2+nx﹣1＝0， 因此，方程x﹣n＝0 和x2+nx﹣1＝0 的所有解就是方程x3﹣（n2+1）x+n＝0 的解． 解决问题：求方程x3﹣5x+2＝0 的解 【答案】x＝2 或x＝﹣1+或x＝﹣1﹣. 【解析】解：∵x3﹣5x+2＝0， ∴x3﹣4x﹣x+2＝0， ∴x（x2﹣4）﹣（x﹣2）＝0， ∴x（x+2）（x﹣2）﹣（x﹣2）＝0， 则（x﹣2）[x（x+2）﹣1]＝0，即（x﹣2）（x2+2x﹣1）＝0， ∴x﹣2＝0 或x2+2x﹣1＝0， 解得：x＝2 或x＝﹣1 ， 故答案为：x＝2 或x＝﹣1+ 或x＝﹣1﹣． 例5.【2020·湖北随州】将关于x的一元二次方程x2﹣px+q＝0变形为x2＝px﹣q，就可以将x2表示为关于x的一次多项式，从而达到“降次”的目的，又如x3＝x•x2＝x（px﹣q）