专题 充分条件与必要条件的判断方法-2020-2021学年高二数学教材配套学案（人教A版选修2-1）

专题 充分条件与必要条件的判断方法

题型多维探究

题型1．利用定义判断

【例1】　设集合M＝{x|x>2}，P＝{x|x<3}，那么“x∈M或x∈P”是“x∈P∩M”的__________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)

【解析】　条件p：x∈M或x∈P；结论q：x∈P∩M.

若x∈M，则x不一定属于P，即x不一定属于P∩M，

所以p⇏q；若x∈P∩M，则x∈M且x∈P，所以q⇒p.

综上知，“x∈M或x∈P”是“x∈P∩M”的必要不充分条件．

【答案】必要不充分

【方法总结】如果p⇒q，那么称p是q的充分条件，同时称q是p的必要条件．判断时的关键是分清条件与结论．

【变式训练1】已知△ABC两内角A，B的对边边长分别为a，b，则“A＝B”是“acos A＝bcos B”的(　　)

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件

【解析】由acos A＝bcos B⇒sin 2A＝sin 2B，∴A＝B或2A＋2B＝π，故选A.

【答案】A

题型2．利用传递性判断

【例2】如果A是B的必要不充分条件，B是C的充要条件，D是C的充分不必要条件，那么A是D的______条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)

【解析】依题意，有A⇐B⇔C⇐D且A ⇏B⇔C⇏D，由命题的传递性可知D⇒A，但A⇏D.于是A是D的必要不充分条件．

【答案】必要不充分

【方法总结】充分、必要条件在推导的过程当中具有传递性，即：若p⇒q，q⇒r，则p⇒r.

【变式训练2】设甲、乙、丙是三个命题，如果甲是乙的必要条件，丙是乙的充分条件但不是乙的必要条件，那么 (　　)

A．丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件

B．丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件

C．丙既不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件

D．无法判断

【解析】∵乙⇒甲，丙⇒乙，乙⇒/丙，∴丙⇒甲，甲⇒/丙，∴丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件．

【答案】A

题型3．利用集合判断

【例3】命题“任意x∈[1,2]，x2－a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是(　　)

A．a≥4       B．a≤4         C．a≥5     D．a≤5

【解析】命题“任意x∈[1,2]，x2－a≤0”为真命题的充要条件是a≥4.故其充分不必要条件是集合[4，＋∞)的真子集．故选C.

【答案】　C

【方法总结】运用集合思想来判断充分条件和必要条件是一种行之有效的方法．若p以非空集合A的形式出现，q以非空集合B的形式出现，则①若A⊆B，则p是q的充分条件；②若B⊆A，则p是q的必要条件；③若AB，则p是q的充分不必要条件；④若BA，则p是q的必要不充分条件；⑤若A＝B，则p是q的充要条件．

【变式训练3】已知条件p：x2－3x－4≤0，条件q：|x－3|≤m，若p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围是________．

【解析】由x2－3x－4≤0得－1≤x≤4，

若|x－3|≤m有解，则m＞0(m＝0时不符合已知条件)，

则－m≤x－3≤m，得3－m≤x≤3＋m，

设B＝{x|3－m≤x≤3＋m}．

∵p是q的充分不必要条件，

∴p⇒q成立，但q⇒p不成立，即AB，

则Error!或Error!

即Error!或Error!得m≥4，

故m的取值范围是[4，＋∞)．

【答案】　[4，＋∞)

充分条件与必要条件的判断方法

总分：_____ 用时：_______

A组（学业基础）

1.函数f(x)在x处导数存在．若p：f′(x)＝0；q：x是f(x)的极值点，则(　　)

A．p是q的充分必要条件

B．p是q的充分条件，但不是q的必要条件

C．p是q的必要条件，但不是q的充分条件

D．p既不是q的充分要件，也不是q的必要条件

【解析】(1)由极值的定义，q⇒p，但q.例如f(x)＝x3，在x＝0处f′(0)＝0，f(x)＝x3是增函数，x＝0不是函数f(x)＝x3的极值点．因此p是q的必要不充分条件．

【答案】C

2. “a＝1”是“直线ax＋y＋1＝0与直线(a＋2)x－3y－2＝0垂直”的(　　)

A．充要条件           B．充分不必要条件

C．必要不充分条件         D．既不充分也不必要条件

【解析】直线ax＋y＋1＝0与直线(a＋2)x－3y－2＝0垂直的充要条件为a(a＋2)＋1×(－3)＝0，解得a＝1或－3，故“a＝1”是“直线ax＋y＋1＝0与直线(a＋2)x－3y－2＝0垂直”的充分不必要条件．

【答案】B

3.已知直线a，b分别在两个不同的平面α ，β内，则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的(　　)

A．充分不必要条件   B．必要不充分条件

C．充要条件    D．既不充分也不必要条件

【解析】　由题意知a⊂α，b⊂β，若a，b相交，则a，b有公共点，从而α，β有公共点，可得出α，β相交；反之，若α，β相交，则a，b的位置关系可能为平行、相交或异面．

因此“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的充分不必要条件．

【答案】A

4.设a，b均为单位向量，则“”是“a⊥b”的

A. 充分而不必要条件    B. 必要而不充分条件

C. 充分必要条件        D. 既不充分也不必要条件

【解析】，因为a，b均为单位向量，所以 a⊥b，即“”是“a⊥b”的充分必要条件.选C.

【答案】C