第一章 常用逻辑用语复习-2020-2021学年高二数学教材配套学案（人教A版选修2-1）

复习课1   常用逻辑用语

框架结构层次

专题综合串讲

 

专题1四种命题的关系及其真假判断

【例1】将下列命题改写成“若p，则q”的形式，并写出它的逆命题、否命题和逆否命题以及判断它们的真假．

(1)当mn＜0时，方程mx2－x＋n＝0有实数根；

(2)能被6整除的数既能被2整除，又能被3整除．

【解】　(1)将命题写成“若p，则q”的形式为：若mn＜0，则方程mx2－x＋n＝0有实数根．

它的逆命题、否命题和逆否命题如下：

逆命题：若方程mx2－x＋n＝0有实数根，则mn＜0.(假)

否命题：若mn≥0，则方程mx2－x＋n＝0没有实数根．(假)

逆否命题：若方程mx2－x＋n＝0没有实数根，则mn≥0.(真)

(2)将命题写成“若p，则q”的形式为：若一个数能被6整除，则它能被2整除，且能被3整除，它的逆命题，否命题和逆否命题如下：

逆命题：若一个数能被2整除又能被3整除，则它能被6整除．(真)

否命题：若一个数不能被6整除，则它不能被2整除或不能被3整除．(真)

逆否命题：若一个数不能被2整除或不能被3整除，则它不能被6整除．(真)

【方法总结】四种命题间的等价关系

在原命题、逆命题、否命题、逆否命题中，原命题与逆否命题，逆命题与否命题是等价命题，它们的

真假性相同．

【变式训练1】给出下列三个命题：

①“全等三角形的面积相等”的否命题；

②“若lg x2＝0，则x＝－1”的逆命题；

③若“x≠y或x≠－y，则|x|≠|y|”的逆否命题．

其中真命题的个数是(　　)

A．0　　    B．1　　　　C．2　　　　D．3

【解析】对于①，否命题是“不全等三角形的面积不相等”，它是假命题；对于②，逆命题是“若x＝－1，则lg x2＝0”，它是真命题；对于③，逆否命题是“若|x|＝|y|，则x＝y且x＝－y”，它是假命题，故选B.

【答案】B　

专题2充分条件、必要条件与充要条件

【例2】指出下列各组命题中p是q的什么条件，q是p的什么条件，并说明理由.

(1)p：|x|＝|y|，q：x＝y．

(2)在△ABC中，p：sinA>，q：A>．

 【解】(1)因为|x|＝|y|⇒x＝y或x＝－y，但x＝y⇒|x|＝|y|，所以p是q的必要条件，q是p的充分条件．

(2)因为0<A<π时，sinA∈(0,1]，且A∈(0，]时，y＝sinA单调递增，A∈[，π)时，y＝sinA单调递减，所以sinA>⇒A>，但A>⇒/ sinA>.所以p是q的充分条件，q是p的必要条件．

【例3】已知命题p：对数loga(－2t2＋7t－5)(a>0，且a≠1)有意义，q：关于实数t的不等式t2－(a＋3)t＋(a＋2)<0.

(1)若命题p为真，求实数t的取值范围．

(2)若命题p是q的充分条件，求实数a的取值范围．

【解】(1)因为命题p为真，则对数的真数－2t2＋7t－5>0，解得1<t<．

所以实数t的取值范围是(1，)．

(2)因为命题p是q的充分条件，所以{t|1<t<}是不等式t2－(a＋3)t＋(a＋2)<0的解集的子集．

因为方程t2－(a＋3)t＋(a＋2)＝0的两根为1和a＋2，