2.4.2 抛物线的简单几何性质-2020-2021学年高二数学教材配套学案（人教A版选修2-1）

2.4.2　抛物线的简单几何性质

知识自主预习

新知初探

知识点1.　四种形式的抛物线的几何性质

【思考】观察下列图形，思考以下问题：

(1)观察焦点在x轴的抛物线与双曲线及椭圆的图形，分析其几何图形存在哪些区别？

(2)根据图形及抛物线方程y2＝2px(p>0)如何确定横坐标x的范围？

【答案】(1)抛物线与另两种曲线相比较，有明显的不同，椭圆是封闭曲线，有四个顶点，有两个焦点，有中心；双曲线虽然不是封闭曲线，但是有两支，有两个顶点，两个焦点，有中心；抛物线只有一条曲线，一个顶点，一个焦点，无中心.

(2)由抛物线y2＝2px(p>0)有Error!所以x≥0.所以抛物线x的范围为x≥0.抛物线在y轴的右侧，当x的值增大时，︱y︱也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸.

【要点】

 

知识点2.直线与抛物线的位置关系

【要点】直线y＝kx＋b与抛物线y2＝2px(p>0)的交点个数决定于关于x的方程组Error!解的个数，即二次方程k2x2＋2(kb－p)x＋b2＝0解的个数.

 当k≠0时，若Δ>0，则直线与抛物线有两个不同的公共点；若Δ＝0时，直线与抛物线有一个公共点；若Δ<0时，直线与抛物线没有公共点.

当k＝0时，直线与抛物线的轴平行或重合，此时直线与抛物线有1个公共点.

自我测评

1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)抛物线关于顶点对称．(　　)

(2)抛物线只有一个焦点，一条对称轴，无对称中心．(　　)

(3)抛物线的标准方程虽然各不相同，但是其离心率都相同．(　　)

【答案】(1)×　(2)√　(3)√

2．过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，若x1＋x2＝6，则|AB|＝(　　)

A．10　　　　　B．8          C．6       D．4

【解析】|AB|＝x1＋x2＋p＝6＋2＝8.

【答案】B　

3．已知点A(－2,3)在抛物线C：y2＝2px的准线上，记C的焦点为F，则直线AF的斜率为(　　)

A．－  B．－1  C．－  D．－

【解析】因为抛物线C：y2＝2px的准线为x＝－，

且点A(－2,3)在准线上，

故－＝－2，解得p＝4，

所以y2＝8x，

所以焦点F的坐标为(2,0)，

这时直线AF的斜率kAF＝＝－.

【答案】C

 

4．已知过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，|AF|＝2，则|BF|＝________.

【解析】F(1,0)，由抛物线定义得A点横坐标为1.

∴AF⊥x轴，∴|BF|＝|AF|＝2.

【答案】2　

5．已知圆C：x2＋y2＋6x＋8y＋21＝0，抛物线y2＝8x的准线为l，设抛物线上任一点P到直线l的距离为m，则m＋|PC|的最小值为________．

【解析】圆心C(－3，－4)，由抛物线的定义知，m＋|PC|最小时为圆心与抛物线焦点(2,0)间的距离，即＝.

【答案】　

【反馈记录】哪里不会问哪里，课堂全过关！

 

题型多维探究

题型1　由抛物线的几何性质求标准方程

【例1】抛物线的顶点在原点，对称轴重合于椭圆9x2＋4y2＝36短轴所在的直线，抛物线焦点到顶点的距离为3，求抛物线的方程及抛物线的准线方程.

【解】椭圆的方程可化为＋＝1，其短轴在x轴上，

∴抛物线的对称轴为x轴，

∴设抛物线的方程为y2＝2px或y2＝－2px(p>0).

∵抛物线的焦点到顶点的距离为3，即＝3，∴p＝6.

∴抛物线的标准方程为y2＝12x或y2＝－12x，

其准线方程分别为x＝－3或x＝3.

【变式训练1】将本例改为“若抛物线的焦点F在x轴上，直线l过F且垂直于x轴，l与抛物线交于A，B两点，O为坐标原点，若△OAB的面积等于4”，求此抛物线的标准方程.

【解】由题意，设抛物线方程为y2＝2mx(m≠0)，