2.3.1 双曲线及其标准方程-2020-2021学年高二数学教材配套学案（人教A版选修2-1）

2.3　双曲线 2.3.1　双曲线及其标准方程 知识自主预习 新知初探 知识点1.双曲线的定义 【思考】　若取一条拉链，拉开它的一部分，在拉开的两边上各选择一点，分别固定在点F1，F2上，把笔尖放在点M处，拉开或闭拢拉链，笔尖经过的点可画出一条曲线，那么曲线上的点应满足怎样的几何条件？ 【答案】如图，曲线上的点满足条件：|MF1|－|MF2|＝常数；如果改变一下笔尖位置，使|MF2|－|MF1|＝常数，可得到另一条曲线. 【要点】(1)平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距； (2)关于“小于|F1F2|”：①若将“小于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”，其余条件不变，则动点轨迹是以F1，F2为端点的两条射线(包括端点)；②若将“小于|F1F2|”改为“大于|F1F2|”，其余条件不变，则动点轨迹不存在. (3)若将“绝对值”去掉，其余条件不变，则动点的轨迹只有双曲线的一支. (4)若常数为零，其余条件不变，则点的轨迹是线段F1F2的中垂线. 知识点2.双曲线的标准方程 【思考】双曲线中a，b，c的关系如何？与椭圆中a，b，c的关系有何不同？ 【答案】双曲线标准方程中，b2＝c2－a2，即c2＝a2＋b2，其中c>a，c>b，a与b的大小关系不确定；而在椭圆中b2＝a2－c2，即a2＝b2＋c2，其中a>b>0，a>c，c与b大小不确定． 【要点】(1)双曲线两种形式的标准方程 焦点所在的坐标轴 x轴 y轴 标准方程 －＝1 (a>0，b>0) －＝1 (a>0，b>0) 图形 焦点坐标 F1(－c,0)， F2(c,0) F1(0，－c)， F2(0，c) a，b，c的关系式 a2＋b2＝c2 (2)焦点F1，F2的位置是双曲线定位的条件，它决定了双曲线标准方程的类型．“焦点跟着正项走”，若x2项的系数为正，则焦点在x轴上；若y2项的系数为正，那么焦点在y轴上． 自我测评 1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)平面内到两定点的距离的差等于常数(小于两定点间距离)的点的轨迹是双曲线．( ) (2)平面内到点F1(0,4)，F2(0，－4)的距离之差等于6的点的轨迹是双曲线．( )