2.3.1 双曲线及其标准方程-2020-2021学年高二数学教材配套学案（人教A版选修2-1）

2.3　双曲线

2.3.1　双曲线及其标准方程

知识自主预习

新知初探

知识点1.双曲线的定义

【思考】　若取一条拉链，拉开它的一部分，在拉开的两边上各选择一点，分别固定在点F1，F2上，把笔尖放在点M处，拉开或闭拢拉链，笔尖经过的点可画出一条曲线，那么曲线上的点应满足怎样的几何条件？

【答案】如图，曲线上的点满足条件：|MF1|－|MF2|＝常数；如果改变一下笔尖位置，使|MF2|－|MF1|＝常数，可得到另一条曲线.

【要点】(1)平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距；

(2)关于“小于|F1F2|”：①若将“小于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”，其余条件不变，则动点轨迹是以F1，F2为端点的两条射线(包括端点)；②若将“小于|F1F2|”改为“大于|F1F2|”，其余条件不变，则动点轨迹不存在.

(3)若将“绝对值”去掉，其余条件不变，则动点的轨迹只有双曲线的一支.

(4)若常数为零，其余条件不变，则点的轨迹是线段F1F2的中垂线.

知识点2.双曲线的标准方程

【思考】双曲线中a，b，c的关系如何？与椭圆中a，b，c的关系有何不同？

【答案】双曲线标准方程中，b2＝c2－a2，即c2＝a2＋b2，其中c>a，c>b，a与b的大小关系不确定；而在椭圆中b2＝a2－c2，即a2＝b2＋c2，其中a>b>0，a>c，c与b大小不确定．

【要点】(1)双曲线两种形式的标准方程

 

(2)焦点F1，F2的位置是双曲线定位的条件，它决定了双曲线标准方程的类型．“焦点跟着正项走”，若x2项的系数为正，则焦点在x轴上；若y2项的系数为正，那么焦点在y轴上．

自我测评

1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)平面内到两定点的距离的差等于常数(小于两定点间距离)的点的轨迹是双曲线．(  )

(2)平面内到点F1(0,4)，F2(0，－4)的距离之差等于6的点的轨迹是双曲线．(  )

(3)平面内到点F1(0,4)，F2(0，－4)的距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线．(  )

(4)在双曲线标准方程－＝1中，a＞0，b＞0，且a≠b.(　　)

【答案】(1) ×(2) ×(3) ×(4) ×(5) ×

2.若双曲线E：－＝1的左，右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线E上，且|PF1|＝3，则|PF2|等于(　　)

A.11          B.9          C.5           D.3

【解析】　由双曲线的定义得||PF1|－|PF2||＝2a＝6，

即|3－|PF2||＝6，解得|PF2|＝9(负值舍去)，故选B.

【答案】B

3．双曲线－＝1的焦距为(　　)

A．3      B．4　　  C．3　     　D．4

【解析】c2＝10＋2＝12，所以c＝2，从而焦距为4.

【答案】D　

4．已知双曲线的a＝5，c＝7，则该双曲线的标准方程为(　　)

A.－＝1 B.－＝1

C．－＝1或－＝1 D.－＝0或－＝0

【解析】b2＝c2－a2＝72－52＝24，故选C．

【答案】C　

5.已知圆C：x2＋y2－6x－4y＋8＝0，以圆C与坐标轴的交点分别作为双曲线的一个焦点和顶点，则所得双曲线的标准方程为________.

【解析】令x＝0，得y2－4y＋8＝0，方程无解，即该圆与y轴无交点.

令y＝0，得x2－6x＋8＝0，解得x＝2或x＝4，

则符合条件的双曲线中a＝2，c＝4，

∴b2＝c2－a2＝16－4＝12，且焦点在x轴上，

∴双曲线的方程为－＝1.

【答案】　－＝1

【反馈记录】哪里不会问哪里，课堂全过关！

 

题型多维探究

题型1　双曲线的定义及应用

角度1　双曲线中焦点三角形面积问题

【例1】　已知双曲线－＝1的左，右焦点分别是F1，F2，若双曲线上一点P使得∠F1PF2＝60°，求△F1PF2的面积.

【解】　由－＝1，

得a＝3，b＝4，c＝5.