2.2.2 椭圆的简单几何性质（一）-2020-2021学年高二数学教材配套学案（人教A版选修2-1）

2.2.2　椭圆的简单几何性质(一)

知识自主预习

新知初探

知识点1.椭圆的范围、对称性和顶点坐标

【思考】观察椭圆＋＝1(a>b>0)的形状(如图)，你能从图中看出它的范围吗？它具有怎样的对称性？椭圆上哪些点比较特殊？

【答案】(1)范围：－a≤x≤a，－b≤y≤b；

(2)对称性：椭圆关于x轴、y轴、原点都对称；

(3)特殊点：顶点A1(－a，0)，A2(a，0)，B1(0，－b)，B2(0，b).

【要点】　椭圆的简单几何性质

知识点2　椭圆的离心率

【思考】如何刻画椭圆的扁圆程度？

【答案】用离心率刻画扁圆程度，e越接近于0，椭圆越接近于圆，反之，越扁.

【要点】(1)椭圆的焦距与长轴长的比称为椭圆的离心率.

(2)对于＋＝1，b越小，对应的椭圆越扁，反之，e越接近于0，c就越接近于0，从而b越接近于a，这时椭圆越接近于圆，于是，当且仅当a＝b时，c＝0，两焦点重合，图形变成圆，方程变为x2＋y2＝a2.(如图)

 

自我测评

1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)椭圆＋＝1(a>b)的长轴长为a，短轴长为b.(　　)

(2)椭圆的离心率越大，则椭圆越接近于圆．(　　)

(3)若一个矩形的四个顶点都在椭圆上，则这四个顶点关于椭圆的中心对称．(　　)

【答案】　(1)×　(2)×　(3)√

2．椭圆6x2＋y2＝6的长轴的端点坐标是(　　)

A．(－1,0)，(1,0)               B．(－6,0)，(6,0)

C．(－，0)，(，0)         D．(0，－)，(0，)

【解析】椭圆方程可化为x2＋＝1，则长轴的端点坐标为(0，±)．]

【答案】D　

3．椭圆25x2＋9y2＝225的长轴长、短轴长、离心率依次是(　　)

A．5,3,0.8　 B．10,6,0.8

C．5,3,0.6   D．10,6,0.6

【解析】椭圆方程可化为＋＝1，则a＝5，b＝3，c＝＝4，e＝＝，故B.

【答案】B　

4.若椭圆的对称轴为坐标轴，且长轴长为10，有一个焦点坐标是(3，0)，则此椭圆的标准方程为________.

【解析】　据题意a＝5，c＝3，故b＝＝4，又焦点在x轴上，

所以椭圆的标准方程为＋＝1.

【答案】　＋＝1

5. 已知椭圆以两条坐标轴为对称轴，一个顶点是(0，13)，另一个顶点是(－10，0)，则焦点坐标为________.

【解析】　由题意知椭圆焦点在y轴上，且a＝13，b＝10，则c＝＝，

故焦点坐标为(0，±).

【答案】　(0，±)

 

 

 

【反馈记录】哪里不会问哪里，课堂全过关！

 

题型多维探究

题型1由椭圆方程研究其简单几何性质

【例1】求椭圆9x2＋16y2＝144的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标.

【解】已知方程化成标准方程为＋＝1，

于是a＝4，b＝3，c＝＝，

∴椭圆的长轴长和短轴长分别是2a＝8和2b＝6，

离心率e＝＝，又知焦点在x轴上，

∴两个焦点坐标分别是(－，0)和(，0)，

四个顶点坐标分别是(－4，0)，(4，0)，(0，－3)和(0，3).

【变式训练1】本例中若把椭圆方程改为“9x2＋16y2＝1”求其长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标.